Comparer des fractions : cours de 5e

Quand tu vois deux fractions, tu te demandes souvent laquelle est la plus grande. Est-ce que $\dfrac{3}{4}$ d'une pizza, c'est plus ou moins que $\dfrac{2}{3}$ de la même pizza ? Le cœur de ce chapitre, c'est de répondre à cette question sans hésiter et en justifiant ta réponse.

Au collège, la fraction est vue de deux façons qui se complètent. Il y a la fraction comme partage : on coupe une unité en parts égales et on en prend quelques-unes. Et il y a la fraction comme nombre : un nombre précis, qui a sa place sur une droite graduée. Le programme demande de garder les deux regards pendant tout le cycle 4 ². Pour comparer, on passe sans cesse de l'un à l'autre.

Comparer des fractions te sert aussi dans la vie courante : choisir la recette qui demande le plus de farine, savoir si on a lu plus de la moitié d'un livre, comparer deux réductions ou deux proportions. Elle te sert surtout pour la suite : additionner et soustraire des fractions demande de trouver un dénominateur commun, et c'est exactement la technique qui sert ici ¹.

Le cas le plus simple est celui de deux fractions qui ont le même dénominateur. Les élèves apprennent à comparer ces fractions dès le primaire, d'abord avec des fractions inférieures à 1 ⁵. Au collège, la règle reste la même, quelle que soit la taille des nombres.

Pourquoi ça marche ? Le dénominateur dit en combien de parts égales on coupe l'unité. Si les deux fractions sont coupées en parts de même taille, il suffit de compter les parts : celui qui en prend le plus a le plus grand morceau. Par exemple, avec des cinquièmes : $\dfrac{2}{5}$ est deux cinquièmes, $\dfrac{4}{5}$ est quatre cinquièmes. Quatre parts valent plus que deux parts de même taille.

Autre cas à connaître : deux fractions qui ont le même numérateur. Là aussi, les élèves apprennent à comparer et à justifier leur réponse dès l'école ⁵. Ici, c'est le dénominateur qui décide, mais dans le sens inverse de ce que beaucoup imaginent.

Pourquoi ? Imagine une barre de chocolat. Si tu la partages en 4 parts égales, chaque part est plus grosse que si tu la partages en 8 parts égales. Prendre 3 grosses parts, c'est plus que prendre 3 petites parts. Donc $\dfrac{3}{4} > \dfrac{3}{8}$.

Plus le dénominateur est grand, plus les parts sont petites. Pense à une pizza coupée pour beaucoup d'invités : chacun reçoit une toute petite part.

Souvent, les fractions n'ont ni le même dénominateur, ni le même numérateur. Il faut alors les transformer pour se ramener au premier cas. Dans les programmes du collège, cette démarche est présentée comme un outil général : chercher un dénominateur qui convient aux deux fractions sert à les additionner, à les soustraire, mais aussi à les comparer ¹.

L'outil, c'est l'égalité des fractions. Multiplier le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul ne change pas la valeur de la fraction :

$\dfrac{a}{d} = \dfrac{a \times k}{d \times k}$

On change l'écriture, pas le nombre. Une fois les deux fractions écrites avec le même dénominateur, il ne reste qu'à comparer les numérateurs.

Il n'est pas toujours nécessaire de passer par un dénominateur commun. Les programmes veulent que tu saches comparer des nombres sans appliquer une technique chaque fois, par une comparaison raisonnée : on peut par exemple positionner les fractions par rapport à des repères simples ². Voici les repères les plus utiles.

La droite graduée est un autre bon outil : elle permet de comparer des fractions en les plaçant sur une même ligne ⁴. Une fraction plus à droite est plus grande. Pour placer $\dfrac{3}{4}$, on partage l'unité en 4 intervalles égaux et on compte 3 graduations à partir de 0. Pour placer $\dfrac{2}{3}$, on partage en 3. Avec des dénominateurs différents, il est difficile de tout lire au même endroit : c'est pourquoi on recommence avec des graduations communes, par exemple en douzièmes, puis on place $\dfrac{9}{12}$ et $\dfrac{8}{12}$.

Ranger plusieurs fractions dans l'ordre croissant (du plus petit au plus grand) ou décroissant (du plus grand au plus petit) revient à répéter la comparaison. La méthode la plus sûre consiste à tout mettre sur un dénominateur commun unique, puis à ranger simplement les numérateurs.

Les fractions servent aussi à comparer des grandeurs : longueurs, durées, prix. Quand on compare deux grandeurs en nombre de fois, on cherche combien de fois l'une contient l'autre ⁴. Il faut alors les exprimer dans la même unité. Les ressources de cycle 4 donnent par exemple la conversion de 3 m en 300 cm avant de comparer ⁴.

Autre exemple tiré de la vie courante : exprimer une durée comme une fraction d'une autre. On demande par exemple quelle fraction de l'année représente un trimestre, ou quelle fraction d'une journée représente 30 minutes ³. Un trimestre dure 3 mois sur 12, donc c'est $\dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$ de l'année. Trente minutes, c'est une demi-heure sur 24 heures : $\dfrac{30}{1440} = \dfrac{1}{48}$ de la journée.