Publié le 10 novembre 2026 · Mis à jour le 10 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Multiplier ou diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre (non nul) ne change pas la valeur d'une fraction.
Deux fractions ba et dc sont égales lorsque a×d=b×c.
Simplifier, c'est diviser numérateur et dénominateur par un diviseur commun.
Une fraction irréductible ne peut plus être simplifiée : son numérateur et son dénominateur ont pour PGCD 1.
Chaque fraction a une seule écriture irréductible : c'est elle qu'on donne comme résultat final.
Pourquoi des fractions différentes peuvent valoir la même chose
Tu as déjà rencontré des fractions comme 21 ou 43. Mais regarde cette situation : tu manges la moitié d'une tarte, ton ami en mange 42, un troisième en mange 84. Les écritures sont différentes, pourtant la quantité mangée est la même. Ce chapitre explique pourquoi, et il t'apprend à choisir l'écriture la plus simple d'une fraction.
Savoir passer d'une écriture à une autre sert partout dans la suite : comparer des fractions, les additionner, les soustraire, les multiplier. Si tu maîtrises les fractions égales, ces opérations deviennent bien plus faciles.
Obtenir une fraction égale en multipliant
Pourquoi cela marche-t-il ? Reprends le rectangle de 43. Multiplier le dénominateur par 2 revient à couper chaque part en 2 : il y a deux fois plus de parts, mais elles sont deux fois plus petites. Multiplier le numérateur par 2 revient à prendre deux fois plus de ces petites parts. Les deux effets se compensent, et la surface reste la même.
On peut donc fabriquer autant de fractions égales qu'on veut. À partir de 52, on obtient :
52=104=156=208=…
Simplifier une fraction en divisant
Simplifier, c'est le chemin inverse de l'étape précédente. Au lieu de multiplier les deux termes par k, on les divise par k. La valeur de la fraction ne change pas, mais l'écriture devient plus légère et plus facile à utiliser.
La fraction irréductible
Cette propriété est précieuse. Elle te permet de donner une réponse « finale » : quand on te demande de simplifier au maximum une fraction, la réponse attendue est sa fraction irréductible. Si tu t'arrêtes trop tôt, ta réponse est exacte mais incomplète, et elle peut être comptée fausse.
Prends 3624. Si tu simplifies par 2, tu obtiens 1812. Si tu simplifies par 3, tu obtiens 128. Si tu simplifies par 6, tu obtiens 64. Aucune de ces trois fractions n'est irréductible. En continuant, toutes aboutissent à 32. C'est bien la seule fraction irréductible égale à 3624.
Deux méthodes pour simplifier au maximum
Pour obtenir une fraction irréductible, deux chemins existent. Tu peux simplifier par étapes avec de petits diviseurs, ou chercher directement le PGCD.
ChercherTrouve un diviseur commun aux deux termes.
DiviserDivise le numérateur et le dénominateur par ce nombre.
ContrôlerUn diviseur commun autre que 1 existe-t-il encore ?
ConclureSinon, la fraction est irréductible.
Simplifier une fraction par divisions successives · Les étapes pour obtenir une fraction irréductible.
Savoir si deux fractions sont égales
Cela donne un test rapide. On multiplie en « croix » : le numérateur de la première par le dénominateur de la seconde, puis le dénominateur de la première par le numérateur de la seconde. Si les deux produits sont identiques, les fractions sont égales. S'ils sont différents, elles ne le sont pas.
Quelques fractions égales et leur écriture irréductible
Fraction
Diviseur commun
Fraction irréductible
12/20
4
3/5
42/390
6
7/65
18/24
6
3/4
36/48
12
3/4
Quelques fractions égales et leur écriture irréductible · Chaque ligne se simplifie vers une seule fraction irréductible.
Compléter une égalité de fractions
Un exercice classique consiste à trouver un nombre manquant : 73=28?. Le raisonnement suit toujours la même logique.
Les erreurs fréquentes et comment les éviter
Exercices corrigés
Exercice 1 Simplifier au maximum
★☆☆Environ 5 min
Simplifie au maximum la fraction 2418 en détaillant les calculs.
Indice 1
Cherche un nombre qui divise à la fois 18 et 24.
Indice 2
Après une première simplification, vérifie si tu peux continuer.
Voir la correction pas à pas
18 et 24 sont tous les deux divisibles par 6 : 18=3×6 et 24=4×6.
On divise les deux termes par 6 : 2418=24÷618÷6=43.
On vérifie : 3 et 4 n'ont aucun diviseur commun autre que 1, donc leur PGCD est 1.
La fraction 43 est irréductible.
On obtient 2418=43, soit 0,75 en écriture décimale. Si tu avais simplifié d'abord par 2, tu aurais trouvé 129, puis 43 en divisant par 3 : même résultat final.
Exercice 2 Trouver le numérateur manquant
★★☆Environ 6 min
Trouve le nombre x tel que 85=40x. Vérifie ensuite ton résultat avec le produit en croix.
Indice 1
Par quel nombre multiplie-t-on 8 pour obtenir 40 ?
Indice 2
Applique ensuite la même opération au numérateur.
Voir la correction pas à pas
On passe du dénominateur 8 au dénominateur 40 : 40÷8=5, donc on a multiplié par 5.
On multiplie aussi le numérateur par 5 : x=5×5=25.
Donc 85=4025.
Vérification : 5×40=200 et 8×25=200. Les deux produits sont égaux.
Le nombre manquant est x=25. Le produit en croix confirme que les deux fractions sont bien égales.
Exercice 3 Deux fractions égales ?
★★☆Environ 7 min
Les fractions 3514 et 156 sont-elles égales ? Justifie de deux façons : avec le produit en croix, puis avec les fractions irréductibles.
Indice 1
Pour le produit en croix, calcule 14×15 et 35×6.
Indice 2
Pour simplifier, cherche un diviseur commun de 14 et 35, puis de 6 et 15.
Voir la correction pas à pas
Produit en croix : 14×15=210 et 35×6=210.
Les deux produits sont égaux, donc les fractions sont égales.
Avec la simplification : 3514=35÷714÷7=52.
De même, 156=15÷36÷3=52.
Les deux fractions ont la même écriture irréductible 52 : elles sont égales.
Oui, 3514=156=52. Les deux méthodes donnent la même conclusion.
Exercice 4 Les élèves de la classe
★★★Environ 8 min
Dans une classe de 48 élèves, 36 élèves mangent à la cantine. Écris la fraction des élèves qui mangent à la cantine, puis simplifie-la au maximum. Donne la valeur décimale de cette fraction irréductible.
Indice 1
La fraction cherchée est le nombre d'élèves concernés sur le nombre total.
Indice 2
Cherche le PGCD de 36 et de 48.
Voir la correction pas à pas
La fraction d'élèves à la cantine est 4836 : 36 parts prises sur 48 parts au total.
Les diviseurs communs de 36 et 48 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12. Le plus grand est 12, donc le PGCD est 12.
On divise les deux termes par 12 : 4836=48÷1236÷12=43.
3 et 4 sont premiers entre eux, donc 43 est irréductible.
Valeur décimale : 3÷4=0,75.
Les trois quarts de la classe mangent à la cantine : 4836=43=0,75.
Quiz
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On passe de 32 à 64 en multipliant les deux termes par 2, donc la valeur est conservée. 54 s'obtient en ajoutant 2 en haut et 2 en bas, ce qui change la valeur. 43 s'obtient en ajoutant 1 aux deux termes, même erreur. 62 ne multiplie que le dénominateur : la fraction devient trois fois plus petite.
En divisant 12 et 20 par 4, on obtient 53, et 3 et 5 sont premiers entre eux. 106 est égale à 2012, mais elle peut encore se simplifier par 2, donc elle n'est pas irréductible. 54 et 512 ne divisent pas les deux termes par le même nombre.
C'est vrai : diviser les deux termes par un même nombre ne change pas la valeur, à condition que ce nombre divise bien les deux termes pour rester dans les entiers. L'idée fausse serait de ne diviser que le numérateur, ce qui modifie la fraction.
Une fraction est irréductible quand ses deux termes sont premiers entre eux, donc quand leur PGCD vaut 1. Un PGCD égal au numérateur ou au dénominateur permettrait au contraire de simplifier la fraction, et le PGCD de deux entiers non nuls ne vaut jamais 0.
Pour 43 et 129 : 3×12=36 et 4×9=36, donc elles sont égales. Pour 85 et 127 : 60=56. Pour 31 et 52 : 5=6. Pour 52 et 25 : 4=25, la seconde est l'inverse de la première, pas son égale.
On passe de 7 à 28 en multipliant par 4, donc on multiplie aussi 3 par 4 : x=12. Si on ajoutait 21 au dénominateur et au numérateur, on trouverait 24, mais ce n'est pas une multiplication et la valeur changerait.
8 et 15 n'ont aucun diviseur commun autre que 1, donc 158 est irréductible, même si aucun des deux nombres n'est premier. Les autres se simplifient : 159 par 3, 2114 par 7, 2510 par 5.
Chaque fraction a une seule écriture irréductible, quel que soit le chemin de simplification suivi. Les chemins peuvent passer par des étapes différentes, mais ils arrivent au même résultat. Il n'y a donc ni deux écritures possibles, ni condition de parité.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si j'ai simplifié assez ?
Cherche si le numérateur et le dénominateur ont encore un diviseur commun autre que 1. Si non, ils sont premiers entre eux et la fraction est irréductible. 4 Une vérification rapide : teste la divisibilité par 2, 3 et 5, puis par les petits nombres premiers plus grands, jusqu'à ce que tu aies épuisé les diviseurs possibles du plus petit des deux termes.
Est-ce que je dois toujours donner la fraction irréductible ?
Quand l'énoncé demande de simplifier au maximum, oui : la réponse attendue est la fraction irréductible. Chaque fraction n'en a qu'une seule, ce qui rend la réponse sans ambiguïté. 4 Si l'énoncé demande un dénominateur précis, on donne la fraction avec ce dénominateur.
Quelle est la différence entre simplifier et passer à une fraction égale ?
Dans les deux cas, on obtient une fraction égale. On multiplie les deux termes quand on veut des termes plus grands (par exemple pour changer le dénominateur), et on les divise quand on veut des termes plus petits : c'est la simplification. Dans les deux cas, la valeur reste la même. 4
Le produit en croix marche-t-il toujours ?
Oui pour tester l'égalité de deux fractions : si a×d=b×c, alors ba=dc. 4 Il faut seulement que les dénominateurs ne soient pas nuls. Attention à ne pas mélanger ce test avec l'addition : on n'additionne jamais en croix.
Peut-on simplifier une fraction avec un nombre décimal au numérateur ?
En 5e, on simplifie les fractions dont les termes sont des entiers, car la notion de diviseur commun s'applique à des entiers. Si un terme est décimal, on commence par multiplier les deux termes par 10 (ou 100) pour obtenir des entiers, puis on simplifie.