Prendre une fraction d'une quantité : cours de 5e

Au programme de 5e, on te demande de trouver une fraction d'une quantité ou d'une grandeur. Par exemple : les deux tiers de 12 €, ou les trois quarts de 100 ². Tu croises ce geste tout le temps : un quart de réduction sur un prix, les trois cinquièmes des élèves d'une classe, les deux tiers d'un trajet déjà parcourus.

Jusqu'à présent, les fractions étaient pour toi des nombres : tu les as simplifiées, comparées, additionnées, multipliées. Désormais, elles deviennent des opérateurs : la fraction s'applique à une quantité et en fournit une autre.

Une quantité, c'est un nombre accompagné de ce qu'il compte : 12 euros, 45 kilogrammes, 28 élèves, 100 mètres. Une grandeur est une mesure de ce genre (une longueur, une masse, une durée, un prix). Dans ce cours, les deux mots désignent la même chose : ce sur quoi la fraction agit.

La question à se poser est toujours la même : je partage le tout en combien de parts égales, et combien de parts je garde ?

Imagine une tablette de chocolat de 12 carrés. On te demande de prendre $\dfrac{2}{3}$ de la tablette.

• Le dénominateur est 3 : tu partages les 12 carrés en 3 groupes égaux. Chaque groupe contient $12 \div 3 = 4$ carrés.
• Le numérateur est 2 : tu gardes 2 groupes. Cela fait $2 \times 4 = 8$ carrés.

Tu prends donc 8 carrés. Le raisonnement ne dépend pas du chocolat : il marche pour 12 €, 12 litres ou 12 élèves.

Le programme de 5e commence d'ailleurs par ce cas simple : on détermine d'abord une fraction unitaire d'une quantité, avant de passer à une fraction quelconque ². C'est logique : la fraction unitaire donne la valeur d'une part, et toutes les autres fractions s'en déduisent.

Exemples rapides :

• $\dfrac{1}{2}$ de 30 : on divise par 2, on obtient 15.
• $\dfrac{1}{5}$ de 45 kg : $45 \div 5 = 9$, donc 9 kg.
• $\dfrac{1}{10}$ de 70 € : $70 \div 10 = 7$, donc 7 €.
• $\dfrac{1}{4}$ de 36 m : $36 \div 4 = 9$, donc 9 m.

Pourquoi ça marche ? Une part vaut $Q \div b$. Garder $a$ parts, c'est répéter $a$ fois cette valeur, donc la multiplier par $a$. Tu retrouves aussi une autre écriture, que tu connais grâce à la multiplication des fractions :

$\dfrac{a}{b} \times Q = \dfrac{a \times Q}{b}$

Les deux écritures donnent le même résultat. Par exemple, pour $\dfrac{3}{5}$ de 40 :

• méthode en deux étapes : $40 \div 5 = 8$, puis $8 \times 3 = 24$ ;
• méthode du produit : $\dfrac{3 \times 40}{5} = \dfrac{120}{5} = 24$.

On trouve 24 dans les deux cas.

Que faire pour $\dfrac{3}{4}$ de 18 ? Diviser 18 par 4 donne 4,5 : le calcul reste possible, avec un nombre décimal.

• Une part : $18 \div 4 = 4{,}5$.
• Trois parts : $3 \times 4{,}5 = 13{,}5$.

On peut aussi multiplier d'abord : $3 \times 18 = 54$, puis $54 \div 4 = 13{,}5$. Le résultat est identique.

Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100. Le programme demande de savoir faire la correspondance entre ratio, fraction et pourcentage ³. Ce lien te donne un second moyen de calculer.

Ainsi, prendre 25 % de 80, c'est prendre le quart de 80, soit 20.

Le programme parle aussi de partager une quantité en deux parts selon un ratio donné ³. Exemple construit : on partage 50 € entre deux personnes selon le ratio 2 : 3. Cela fait $2 + 3 = 5$ parts égales. Une part vaut $50 \div 5 = 10$ €. La première personne reçoit $\dfrac{2}{5}$ de 50 €, soit 20 €, et la seconde $\dfrac{3}{5}$ de 50 €, soit 30 €. Le ratio devient ainsi deux fractions de la quantité totale.