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Mathématiques · 5e

Addition et soustraction de relatifs : cours de 5e

Publié le 10 novembre 2026 · Mis à jour le 10 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

  • Opposé : deux nombres sont opposés quand leur somme vaut 0 ; l'opposé de −4-4 est 44.
  • Addition, même signe : on additionne les distances à zéro et on garde le signe commun.
  • Addition, signes différents : on soustrait les distances à zéro et on prend le signe du nombre le plus éloigné de 0.
  • Soustraction : soustraire un nombre revient à additionner son opposé, donc a−b=a+(−b)a-b=a+(-b).
  • Suites de calculs : on transforme chaque soustraction en addition, puis on regroupe les positifs d'un côté et les négatifs de l'autre.

Pour démarrer : de quoi parle ce cours ?

Tu sais déjà repérer un nombre relatif sur une droite graduée, lire sa distance à zéro et comparer deux relatifs. Il est temps de calculer avec eux : additionner, soustraire, et enchaîner plusieurs opérations dans un même calcul.

Ce programme de 5e étend l'addition et la soustraction que tu connais aux nombres décimaux positifs ou négatifs 3. On y retrouve aussi les fractions de dénominateurs égaux ou multiples l'un de l'autre 1. Un seul réflexe sert de fil rouge à tout le chapitre : une soustraction se transforme en addition.

Rappelons le vocabulaire de base. Le résultat d'une addition s'appelle une somme, et les nombres que l'on additionne sont les termes 6. Pour des relatifs, c'est pareil : dans (−3)+(+8)(-3)+(+8), les termes sont −3-3 et +8+8, et la somme est +5+5.

Une bonne image pour la suite : une température qui monte ou descend, ou un compte en banque où l'on reçoit de l'argent (positif) ou où l'on en dépense (négatif). Ces situations donnent du sens aux règles, mais retiens bien que les règles, elles, s'appliquent à tous les nombres.

Méthode : suite de calculs de relatifsTrois étapes : transformer les soustractions en additions, regrouper positifs et négatifs, conclure.1TransformerChaque soustraction devient l'addition de l'opposé.2RegrouperSomme des positifs d'un côté, des négatifs de l'autre.3ConclureAdditionne les deux résultats avec la règle des signes.
  1. TransformerChaque soustraction devient l'addition de l'opposé.
  2. RegrouperSomme des positifs d'un côté, des négatifs de l'autre.
  3. ConclureAdditionne les deux résultats avec la règle des signes.
Méthode : suite de calculs de relatifs · Les trois temps pour calculer une suite d'additions et de soustractions.

L'opposé d'un nombre

La notion d'opposé est introduite en 5e en même temps que l'extension de l'addition et de la soustraction aux décimaux relatifs 3. Les documents d'accompagnement précisent d'ailleurs que la soustraction ne peut être abordée qu'une fois l'addition et l'opposé bien installés 2. C'est pourquoi on commence par là.

Additionner deux nombres relatifs

Pour comprendre, imagine des gains et des pertes. Un nombre positif est un gain, un nombre négatif est une perte. Additionner, c'est cumuler ce qui t'arrive. Deux situations se présentent : les deux nombres ont le même signe, ou des signes différents.

Soustraire, c'est additionner l'opposé

Cette règle est la clé du chapitre : elle évite d'apprendre une nouvelle série de règles pour la soustraction. On sait déjà additionner, donc on transforme chaque soustraction en addition, puis on applique les règles de la partie précédente.

Démonstration · Pourquoi $a-b=a+(-b)$ ?

Soustraire bb à aa, c'est chercher le nombre xx tel que b+x=ab+x=a. Essayons x=a+(−b)x=a+(-b). On calcule b+(a+(−b))=a+(b+(−b))=a+0=ab+\big(a+(-b)\big)=a+\big(b+(-b)\big)=a+0=a, car bb et −b-b sont opposés. Le nombre a+(−b)a+(-b) vérifie bien la condition : c'est donc la différence a−ba-b.

Voici une lecture concrète. Enlever une dette de 33 euros à quelqu'un, c'est lui faire gagner 33 euros : (−3)(-3) retranché revient à +3+3. De même, retirer 3 °C3\,°C revient à ajouter −3 °C-3\,°C.

Suites d'additions et de soustractions

On rencontre souvent des calculs qui enchaînent plusieurs opérations sur des relatifs, comme 2+(−5)+42+(-5)+4 2. Il faut alors une méthode efficace pour ne pas se perdre dans les signes 2.

Décimaux et fractions

Les règles ne changent pas quand les nombres ne sont plus entiers : le programme demande d'additionner et de soustraire des nombres décimaux relatifs 1. Il faut seulement soigner les calculs de décimaux positifs que tu connais déjà.

En 5e, on additionne aussi des fractions de même dénominateur ou de dénominateurs multiples l'un de l'autre 1. Dans ce cas, il suffit de mettre les fractions au même dénominateur, puis d'appliquer les règles de signe aux numérateurs.

Bien vérifier ses calculs

Exercices corrigés

Exercice 1 Additionner deux relatifs

★☆☆Environ 5 min

Calcule (−8)+(+5)(-8)+(+5).

Indice 1

Les signes sont différents : compare les distances à zéro.

Voir la correction pas à pas

  1. Les signes sont différents, donc on soustrait les distances à zéro : 88 et 55 donnent 8−5=38-5=3.

  2. Le nombre le plus éloigné de zéro est −8-8 : le résultat est négatif.

  3. Donc (−8)+(+5)=−3(-8)+(+5)=-3.

Le résultat est −3-3 : en partant de −8-8 et en avançant de 55, on s'arrête à −3-3.

Exercice 2 Une suite avec une soustraction

★★☆Environ 8 min

Calcule 4−(−6)+(−9)4-(-6)+(-9).

Indice 1

Transforme la soustraction en addition de l'opposé.

Indice 2

Regroupe ensuite les positifs et les négatifs.

Voir la correction pas à pas

  1. On transforme : 4−(−6)=4+(+6)4-(-6)=4+(+6), donc le calcul devient 4+6+(−9)4+6+(-9).

  2. Les positifs : 4+6=104+6=10.

  3. On additionne 10+(−9)10+(-9) : signes différents, écart 11, signe ++ car 1010 est plus éloigné de zéro que −9-9.

  4. Donc le résultat est 11.

Le résultat est 11.

Exercice 3 Un calcul avec des décimaux

★★☆Environ 8 min

Calcule (−3,5)−(−2,25)+(−1,75)(-3{,}5)-(-2{,}25)+(-1{,}75).

Indice 1

Remplace −(−2,25)-(-2{,}25) par +2,25+2{,}25.

Voir la correction pas à pas

  1. On transforme : (−3,5)+(+2,25)+(−1,75)(-3{,}5)+(+2{,}25)+(-1{,}75).

  2. Les positifs : 2,252{,}25.

  3. Les négatifs : −3,5−1,75=−5,25-3{,}5-1{,}75=-5{,}25.

  4. On conclut : 2,25+(−5,25)2{,}25+(-5{,}25), écart 33, signe −- : le résultat est −3-3.

Le résultat est −3-3.

Exercice 4 Une différence de fractions

★★★Environ 10 min

Calcule 34−52\frac{3}{4}-\frac{5}{2} et donne le résultat en écriture décimale.

Indice 1

44 est un multiple de 22 : mets les deux fractions sur 44.

Indice 2

N'oublie pas de convertir la fraction finale en décimal.

Voir la correction pas à pas

  1. On écrit 52=104\frac{5}{2}=\frac{10}{4} car on multiplie numérateur et dénominateur par 22.

  2. On calcule 34−104=3−104\frac{3}{4}-\frac{10}{4}=\frac{3-10}{4}.

  3. Comme 3−10=−73-10=-7, on obtient −74\frac{-7}{4}.

  4. En décimal : −7÷4=−1,75-7\div4=-1{,}75.

Le résultat est −74-\frac{7}{4}, soit −1,75-1{,}75.

Quiz

7 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.

  1. Quel est le résultat de (−6)+(−4)(-6)+(-4) ?

  2. Quel est le résultat de 5−95-9 ?

  3. Quel est le résultat de 7−(−3)7-(-3) ?

  4. Soustraire un nombre revient à additionner son opposé.

  5. Calcule −12+20−5-12+20-5.

  6. Quel est l'opposé de −7,2-7{,}2 ?

  7. Quels calculs donnent −3-3 ? (plusieurs réponses)

    Plusieurs réponses possibles.

Les questions qu'on se pose

Pourquoi moins par moins donne-t-il plus dans une soustraction ?

Dans a−(−b)a-(-b), on retranche l'opposé de bb, ce qui revient à additionner bb. Retirer une dette, c'est s'enrichir. Cette règle découle de a−b=a+(−b)a-b=a+(-b) 1.

Comment ne plus me tromper de signe dans une addition ?

Avant de calculer, repère si les signes sont identiques ou non. S'ils sont identiques, le signe reste. S'ils sont différents, regarde quel nombre est le plus loin de zéro : c'est lui qui donne le signe. Vérifie avec une droite graduée.

Est-ce que $(-3)+(+5)$ et $(+5)+(-3)$ donnent la même chose ?

Oui, l'ordre des termes d'une addition ne change pas la somme. Les deux donnent 22. Cela ne marche pas pour la soustraction : 5−35-3 n'est pas égal à 3−53-5.

Peut-on supprimer les parenthèses dans un calcul ?

Oui, quand il n'y a que des additions et des soustractions, après avoir transformé chaque soustraction en addition de l'opposé. (+7)+(−3)(+7)+(-3) s'écrit 7−37-3, et 6−(−4)6-(-4) s'écrit 6+46+4. Fais-le seulement quand tu as bien compris à quel nombre appartient chaque signe.

Les règles sont-elles différentes pour les décimaux et les fractions ?

Non, les règles de signe sont identiques 1. Pour les fractions, on met d'abord les deux fractions sur le même dénominateur, puis on applique les règles aux numérateurs.

Sources

Programme visé : 5e Mathématiques - Attendus de fin d'année · Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse

  1. 5e Mathématiques - Attendus de fin d'année, Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse. Consulté le 10 novembre 2026.
  2. Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes : Nombres relatifs, Éduscol - Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 10 novembre 2026.
  3. Repères annuels de progression - Mathématiques 5e, Éduscol - Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 10 novembre 2026.
  4. Manuel Cycle 4 2016 - Addition et soustraction de nombres relatifs (pages 24/25), Sesamath. Consulté le 10 novembre 2026.
  5. Cahier 5e 2024 - Nombres relatifs, Sesamath. Consulté le 10 novembre 2026.
  6. Addition, Wikipédia. Consulté le 10 novembre 2026.

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