Fréquence et probabilité : exercices corrigés de 5e

L'effectif total est 25 et l'effectif de la valeur étudiée est 10.

La fréquence est $\frac{10}{25}$. On simplifie par 5 : $\frac{2}{5}$.

En décimal : $\frac{10}{25}=0{,}4$.

En pourcentage : $0{,}4\times100=40\ \%$.

Effectif total : 50 lancers. Effectif de « pile » : 27.

Fréquence de « pile » : $\frac{27}{50}=0{,}54$.

Nombre de « face » : $50-27=23$. Fréquence de « face » : $\frac{23}{50}=0{,}46$.

Somme : $0{,}54+0{,}46=1$. Cela est normal : les fréquences de toutes les valeurs d'une série s'additionnent pour donner 1.⁵

Il y a 6 issues possibles : 1, 2, 3, 4, 5 et 6.

Les issues favorables à « nombre pair » sont 2, 4 et 6 : il y en a 3.

Les 6 faces ont autant de chances de sortir, donc $P=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0{,}5$.

Aucune face ne porte 7 ou plus : il y a 0 issue favorable, donc la probabilité est $\frac{0}{6}=0$ (événement impossible).

Total : $82+70+48=200$. Le total est correct.

Rouge : $\frac{82}{200}=0{,}41$, soit 41 %.

Bleu : $\frac{70}{200}=0{,}35$, soit 35 %.

Vert : $\frac{48}{200}=0{,}24$, soit 24 %.

Contrôle : $41+35+24=100$ %, ce qui confirme les calculs.⁵

Fréquence de Léa : $\frac{12}{20}=0{,}6$.

Fréquence de Hugo : $\frac{21}{30}=0{,}7$.

$0{,}7>0{,}6$ : Hugo a la meilleure fréquence de réussite.

Écart : $0{,}7-0{,}6=0{,}1$.

Il y a 8 issues possibles, toutes de même chance, et 3 issues favorables.

Probabilité de gagner : $\frac{3}{8}=0{,}375$.

Sur 400 tours, on attend environ $0{,}375\times400$ tours gagnants.

$0{,}375\times400=150$.

Fréquence : $\frac{91}{300}\approx0{,}30$.

On prend cette fréquence comme estimation de la probabilité de tirer une rouge.

Nombre estimé de boules rouges : $\frac{91}{300}\times20\approx6{,}07$ (avec l'arrondi $0{,}30$, on trouve $0{,}30\times20=6$).

Le nombre de boules est entier : on retient 6.

Après 100 lancers : $\frac{14}{100}=0{,}14$.

Après 300 lancers : $\frac{50}{300}\approx0{,}167$.

La probabilité théorique est $\frac{1}{6}\approx0{,}167$. La fréquence sur 300 lancers est plus proche que celle sur 100 lancers : elle semble se stabiliser quand le nombre de lancers augmente.²

Sur les 200 derniers lancers : nombre de 6 $=50-14=36$.

Fréquence : $\frac{36}{200}=0{,}18$.

Fréquence de « pile » : $\frac{7}{10}=0{,}7$.

Cette valeur est la fréquence observée dans une série précise, pas la probabilité de la pièce.⁵

Avec seulement 10 lancers, la fréquence peut s'écarter beaucoup de la probabilité : une série isolée ne suffit pas à la déterminer.²

Pour mieux estimer, il doit multiplier les lancers (des centaines), calculer la fréquence au fil des essais et observer si elle se stabilise.²