Répéter une expérience aléatoire : cours de mathématiques de 5e

Tu as sûrement déjà lancé un dé en jouant. Tu sais qu'il peut tomber sur n'importe quelle face, mais tu ne sais jamais d'avance laquelle. Quand on lance le dé une seule fois, on ne peut presque rien conclure. En revanche, si tu le lances trente fois, puis cent fois, des choses intéressantes apparaissent : certaines faces sortent plus souvent que d'autres, et ce n'est pas toujours les mêmes d'une série à l'autre.

Ce cours répond à une question simple : que se passe-t-il quand on répète la même expérience aléatoire, et que peut-on en dire ? Tu vas apprendre à compter les résultats avec méthode, à calculer ce qu'on devrait observer, puis à comparer les deux. Tu verras aussi comment un ordinateur peut jouer le rôle du dé.

Tu as déjà rencontré le vocabulaire des probabilités : impossible, certain, probable, peu probable, une chance sur deux ³. Ces mots restent utiles ici. La suite du programme, la fréquence et la probabilité, viendra après ce chapitre : on s'y prépare en observant des résultats, sans encore formaliser.

Le vocabulaire courant permet de classer les événements : un événement impossible ne se produit jamais, un événement certain se produit toujours, et entre les deux on parle d'événement probable, peu probable, ou d'« une chance sur deux » ³. Cette échelle reste valable quand on répète l'expérience : un événement impossible n'apparaîtra dans aucune répétition, un événement certain apparaîtra dans toutes.

Pour savoir ce qu'on devrait observer quand on répète une expérience, il faut d'abord pouvoir calculer une probabilité. Au programme de ce niveau, on calcule des probabilités dans des situations simples où toutes les issues ont la même chance de se produire : c'est l'équiprobabilité ³.

Répéter une expérience aléatoire, c'est la refaire plusieurs fois dans les mêmes conditions : on relance le même dé, on retire une bille dans le même sac en la remettant ensuite, on refait tourner la même roue. À chaque fois, on note l'issue obtenue. À la fin, on a une série de résultats que l'on peut compter.

Dans cet exemple, les faces ne sont pas toutes sorties 5 fois : le 3 et le 6 sont sortis 5 fois, mais le 5 est sorti 3 fois et le 4 est sorti 7 fois. C'est tout à fait normal. Le calcul de probabilité donne une valeur de référence, pas un résultat garanti.

Au programme de 5e, on apprend à comparer les résultats d'une expérience répétée à la probabilité qu'on a calculée ³. La démarche est toujours la même : on calcule d'abord la valeur attendue, puis on regarde l'écart avec ce qu'on a observé.

Certaines expériences se déroulent en deux étapes : on lance deux dés, ou une pièce puis un dé. Au programme, on recense alors toutes les issues dans un tableau ou dans un arbre, puis on en déduit des probabilités quand les issues sont équiprobables ³. Les documents d'accompagnement consacrent d'ailleurs un paragraphe à ces expériences à deux épreuves ².

Lancer un dé 1 000 fois à la main prendrait un temps énorme. Au cycle 4, l'élève utilise un logiciel de programmation pour simuler une expérience aléatoire ¹. L'ordinateur tire un nombre au hasard à chaque répétition, ce qui permet d'obtenir en quelques secondes des centaines de résultats.