Carré et cube d'un nombre : cours de 5e

Tu connais déjà le carré et le cube en géométrie : le carré est une figure plane à quatre côtés égaux, le cube est un solide que tu as sûrement déjà tenu entre les mains sous la forme d'un dé. Dans ce chapitre, ces deux mots désignent aussi des opérations sur les nombres. Ce n'est pas un hasard.

Dans le vocabulaire des mathématiques, le mot « cube » appliqué à un nombre désigne le résultat d'un nombre multiplié par lui-même, puis encore une fois par ce même nombre. Cette expression est née à une époque où l'on raisonnait beaucoup avec des figures : le carré d'un nombre était vu comme l'aire d'un carré dont le côté est ce nombre, et le cube comme le volume d'un cube dont l'arête est ce nombre ². Tu vas donc travailler à la fois avec des calculs et avec des images.

Dans ce cours, tu vas apprendre à :

• écrire et lire correctement $a^2$ et $a^3$ ;
• calculer des carrés et des cubes d'entiers et de nombres décimaux ;
• retenir les carrés et les cubes usuels ;
• relier ces calculs aux aires et aux volumes ;
• éviter les erreurs que font presque tous les élèves au début.

Ces notions préparent l'étude des puissances, en particulier des puissances de 10.

Le petit « 2 » placé en haut à droite s'appelle l'exposant. Il ne te dit pas de multiplier par 2 : il te dit qu'il y a deux facteurs égaux à $a$ dans la multiplication.

Par exemple :

• $5^2 = 5 \times 5 = 25$ ;
• $9^2 = 9 \times 9 = 81$ ;
• $12^2 = 12 \times 12 = 144$ ;
• $0^2 = 0$ et $1^2 = 1$.

Le mot « carré » vient de la géométrie : si un carré a pour côté $a$ (dans une unité de longueur), son aire est $a \times a$ (dans l'unité d'aire correspondante) ². Un carré de côté 5 cm a donc une aire de $5 \times 5 = 25$ cm².

Ici, l'exposant est 3 : il y a trois facteurs égaux à $a$. Quelques exemples :

• $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$ ;
• $3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$ ;
• $4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$ ;
• $10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1\,000$.

Pour calculer à la main, avance en deux temps. Par exemple pour $4^3$ : d'abord $4 \times 4 = 16$, puis $16 \times 4 = 64$. On retrouve ainsi l'idée de la définition : on multiplie un nombre par lui-même, puis on recommence avec le nombre de départ ².

Le mot « cube » vient lui aussi de la géométrie : un cube d'arête $a$ a pour volume $a \times a \times a$ ². Un cube d'arête 3 cm a donc un volume de $3^3 = 27$ cm³, c'est-à-dire qu'on peut le remplir avec 27 petits cubes de 1 cm d'arête.

Connaître les premiers carrés et cubes te fait gagner un temps précieux, en calcul mental comme en contrôle. Voici le tableau à apprendre. Tu peux le reconstruire en cas de trou de mémoire, mais mieux vaut qu'il devienne automatique.

La définition est la même quand le nombre n'est pas entier. Il suffit de savoir multiplier des décimaux.

Exemple 1 : $0{,}5^2$. On calcule $0{,}5 \times 0{,}5$. Comme $5 \times 5 = 25$ et qu'il y a deux chiffres après la virgule au total, on obtient $0{,}25$.

Exemple 2 : $1{,}2^2$. $12 \times 12 = 144$, et il y a deux décimales en tout, donc $1{,}2^2 = 1{,}44$.

Exemple 3 : $0{,}1^3$. $0{,}1 \times 0{,}1 = 0{,}01$, puis $0{,}01 \times 0{,}1 = 0{,}001$.

Exemple 4 : $2{,}5^2$. $25 \times 25 = 625$ et il y a deux décimales : $2{,}5^2 = 6{,}25$.

Le carré d'une longueur donne une aire ; le cube d'une longueur donne un volume. Les unités suivent le même mouvement :

• côté en cm, aire en cm² ;
• arête en cm, volume en cm³ ;
• avec les mètres : m, m², m³.

L'écriture cm² se lit « centimètre carré » et cm³ « centimètre cube ». Là encore, l'exposant dit combien de fois l'unité de longueur intervient.

Dans une expression qui mélange plusieurs opérations, l'exposant se calcule avant les multiplications, les additions et les soustractions. Il agit seulement sur le nombre qui est juste devant lui.

Voici les pièges que l'on retrouve le plus souvent dans les copies, avec un moyen de s'en protéger.