Repérage sur une droite : cours de 5e

Pour situer un objet sur une route, on donne un nombre : « au kilomètre 12 ». Pour décrire la température, on lit un thermomètre : 5 degrés au-dessus de zéro, ou 3 degrés en dessous. Chaque fois, un nombre remplace une position. C'est précisément à cela que sert le repérage sur une droite.

Le programme du cycle 4 te demande de placer un point sur une demi-droite graduée quand son abscisse est décimale. Il te demande aussi de construire le symétrique d'un point par demi-tour.¹ Ici, on va un cran plus loin : la droite sera entière, avec des nombres positifs et négatifs.

Tu connais déjà la demi-droite graduée de l'école primaire : on y place des nombres entiers, des fractions et des décimaux.² La nouveauté en 5e, c'est que la droite se prolonge de l'autre côté de zéro. Il faut donc de nouveaux nombres pour les points situés à gauche : les nombres négatifs.

Chacun de ces trois choix est indispensable.

• L'origine est le point d'abscisse 0. Sans elle, on ne sait pas d'où l'on compte.
• Le sens dit quelle direction est « positive ». Sur une droite horizontale, on choisit presque toujours le sens vers la droite.
• L'unité fixe la taille d'un pas. Si une unité mesure 2 cm, alors le point d'abscisse 3 se trouve à 6 cm de l'origine.

On écrit par exemple $A(2,5)$ pour dire « le point A a pour abscisse 2,5 ». Les deux informations vont ensemble : un point, un nombre. À chaque point correspond un seul nombre, et à chaque nombre correspond un seul point (une fois l'origine, le sens et l'unité choisis).

Pour les décimaux, deux découpages reviennent sans cesse : en dixièmes (10 parts) et en centièmes (100 parts). Les nombres écrits avec au plus deux chiffres après la virgule correspondent exactement à ces deux découpages.² Par exemple, 2,4 est un nombre de dixièmes, et 2,43 un nombre de centièmes.

Lire une abscisse, c'est aller du point vers le nombre. Placer un point, c'est faire le chemin inverse : on part d'un nombre et on trouve sa position. Cet exercice fait partie des attendus du cycle 4 pour les abscisses décimales.¹

Quand on prolonge la droite à gauche de l'origine, on y place des nombres négatifs. Un nombre négatif s'écrit avec le signe $-$ devant.³ Le point d'abscisse $-2$ est à la même distance de l'origine que le point d'abscisse $2$, mais de l'autre côté.

Le programme demande de savoir construire le symétrique d'un point par demi-tour.¹ Sur une droite graduée, le demi-tour est celui qui échange la gauche et la droite en gardant l'origine fixe.

La droite graduée est aussi un outil de calcul, on peut s'en servir pour raisonner sur les nombres.² Deux questions reviennent souvent : lequel est le plus grand ? Quelle distance sépare deux points ?

Voici les erreurs qu'on rencontre le plus souvent dans ce chapitre. Si tu les connais à l'avance, tu les éviteras plus facilement.