Critères de divisibilité : exercices corrigés de 6e

On cherche $q$ tel que $12 \times q = 252$. Comme $12 \times 20 = 240$ et qu'il reste $12$ pour atteindre $252$, on ajoute $1$ : $q = 21$.

On vérifie : $12 \times 21 = 240 + 12 = 252$. Le reste est donc $0$.

Quand le reste de la division euclidienne est 0, le nombre est divisible par le diviseur. ¹

On écrit : « 252 est un multiple de 12 (ou 252 est divisible par 12) et 12 est un diviseur de 252. »

Critère de 2 : le chiffre des unités doit être 0, 2, 4, 6 ou 8. ¹

$135$ finit par 5 : non. $240$ finit par 0 : oui. $4\,718$ finit par 8 : oui. $1\,005$ finit par 5 : non. $862$ finit par 2 : oui.

Trois nombres sont divisibles par 2 : $240$, $4\,718$ et $862$.

Critère de 5 : le chiffre des unités doit être 0 ou 5. ¹

$135$, $240$ et $1\,005$ conviennent. Le nombre $240$ est donc divisible à la fois par 2 et par 5.

Les chiffres de $2\,475$ sont $2$, $4$, $7$ et $5$. Leur somme vaut $2 + 4 + 7 + 5 = 18$.

Un nombre est divisible par 3 quand la somme de ses chiffres est un multiple de 3. ¹

$18 = 3 \times 6$ : c'est un multiple de 3. Donc $2\,475$ est divisible par $3$.

Pour $2\,476$, la somme vaut $2 + 4 + 7 + 6 = 19$. Or $19$ est entre $18$ et $21$, deux multiples de 3 consécutifs : ce n'est pas un multiple de 3.

Donc $2\,476$ n'est pas divisible par $3$.

Le critère de 4 regarde le nombre formé par les deux derniers chiffres. ¹

Ici, ce nombre est compris entre $20$ et $29$.

Les multiples de 4 dans cette zone sont $20$ ($4 \times 5$), $24$ ($4 \times 6$) et $28$ ($4 \times 7$).

Le chiffre cherché est donc $0$, $4$ ou $8$, ce qui donne $520$, $524$ ou $528$.

Contrôle avec $528$ : $528 = 4 \times 132$, le reste est bien $0$. Le plus grand chiffre possible est $8$.

Pour être divisible par 5, le nombre doit finir par 0 ou 5. ¹ Le chiffre caché est donc $0$ ou $5$.

Cas $460$ : la somme des chiffres vaut $4 + 6 + 0 = 10$. Ce n'est pas un multiple de 3, donc $460$ est écarté. ¹

Cas $465$ : la somme des chiffres vaut $4 + 6 + 5 = 15$, et $15 = 3 \times 5$. Le nombre est divisible par 3.

Contrôle : $465 = 5 \times 93$ et $465 = 3 \times 155$.

Ranger tous les macarons par paquets de 4 sans reste revient à se demander si $2\,004$ est divisible par $4$.

Les deux derniers chiffres forment le nombre $04$, c'est-à-dire $4$, qui est un multiple de 4. ¹

Le nombre est donc divisible par $4$ : le rangement est possible.

On calcule le nombre de boîtes : $2\,004 \div 4 = 501$, car $4 \times 500 = 2\,000$ et $4 \times 1 = 4$.

On répond par une phrase : « Oui, elle remplira 501 boîtes. »

Divisible par 2 : le nombre finit par 0, 2, 4, 6 ou 8. Divisible par 5 : il finit par 0 ou 5. ¹

Les deux conditions ensemble imposent le chiffre des unités $0$.

Il reste le critère de 3 : la somme des chiffres doit être un multiple de 3. ¹

Essais dans l'ordre : $100$ a pour somme $1$ ; $110$ a pour somme $2$ ; $120$ a pour somme $1 + 2 + 0 = 3$.

Comme $3$ est un multiple de 3, $120$ convient, et aucun nombre plus petit de trois chiffres ne marche. Contrôle : $120 = 2 \times 60 = 3 \times 40 = 5 \times 24$.

Être pair signifie finir par 0, 2, 4, 6 ou 8 : c'est le critère de 2, pas celui de 4. ¹

Pour 4, on regarde le nombre formé par les deux derniers chiffres : ici $46$. ¹

Dans la table de 4, on trouve $44 = 4 \times 11$ puis $48 = 4 \times 12$. Le nombre $46$ est entre les deux : ce n'est pas un multiple de 4.

Donc $2\,346$ n'est pas divisible par $4$ : Léa a confondu les deux critères.

Pour le reste : $4 \times 586 = 2\,344$, et $2\,346 - 2\,344 = 2$. On écrit $2\,346 = 4 \times 586 + 2$, avec un reste de $2$ strictement inférieur à $4$.

Divisible par 5 : le nombre finit par 0 ou 5. ¹

Divisible par 4 : le nombre formé par les deux derniers chiffres est un multiple de 4. ¹ Un nombre finissant par 5 est impair, donc jamais multiple de 4 : le chiffre des unités est $0$.

Les deux derniers chiffres sont alors $00$, $20$, $40$, $60$ ou $80$, qui sont tous des multiples de 4.

Les candidats entre 200 et 299 sont $200$, $220$, $240$, $260$ et $280$, de sommes de chiffres $2$, $4$, $6$, $8$ et $10$.

Seule la somme $6$ est un multiple de 3 : le nombre mystère est $240$. Contrôle : $240 = 4 \times 60 = 5 \times 48$.