Publié le 10 novembre 2026 · Mis à jour le 10 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
La division euclidienne de deux entiers naturels donne un quotient et un reste, tous deux entiers 6.
On l'écrit a=b×q+r : a est le dividende, b le diviseur, q le quotient, r le reste.
Le reste est toujours strictement plus petit que le diviseur : 0≤r<b5.
Pour la calculer : chercher le plus grand multiple du diviseur qui ne dépasse pas le dividende, puis soustraire.
Dans un problème, il faut interpréter le quotient et le reste : quotient par défaut, quotient par excès 1.
Partager quand ça ne tombe pas juste
Tu as 47 billes à ranger dans des sacs de 6 billes. Combien de sacs pleins peux-tu remplir ? Et combien de billes restent-elles dehors ?
Cette question, tu l'as déjà rencontrée sous d'autres formes : partager des bonbons, répartir des élèves dans des équipes, remplir des boîtes d'œufs. Dans chaque cas, on cherche combien de fois un nombre « rentre » dans un autre, et ce qu'il reste quand on ne peut plus continuer. C'est exactement ce que règle la division euclidienne.
Le mot vient d'Euclide, mathématicien de l'Antiquité qui a posé les bases de l'arithmétique dans ses Éléments6. La procédure elle-même est encore plus ancienne : on en trouve des traces dans les mathématiques égyptiennes, par exemple pour mesurer 30 avec une unité de 7 6.
Tu connais déjà l'addition, la soustraction et la multiplication de nombres décimaux. Ici, on reste avec des nombres entiers : le résultat de la division est un entier (le quotient) accompagné d'un autre entier (le reste). La division où l'on continue après la virgule viendra plus tard, dans le chapitre sur la division décimale.
Le vocabulaire à connaître
L'égalité de la division euclidienne
Pour résumer une division euclidienne, on l'écrit sous forme d'une égalité qui relie les quatre nombres. Elle permet aussi de vérifier un calcul en quelques secondes.
Pourquoi le reste doit-il être plus petit que le diviseur ? Parce qu'un reste égal ou supérieur au diviseur permettrait de remplir un sac de plus. Si tu gardes 11 billes avec des sacs de 6, tu n'as pas fini : tu peux encore en remplir un. Le calcul n'est terminé que lorsque ce qui reste ne suffit plus pour une part entière.
Trouver le quotient et le reste
Pour calculer une division euclidienne, il faut bien connaître ses tables de multiplication : on cherche dans la table du diviseur le multiple qui s'approche le plus du dividende sans le dépasser 5. Plus tu maîtrises les tables, plus le calcul est rapide.
RepérerDividende a et diviseur b
ChercherPlus grand multiple de b qui ne dépasse pas a
SoustraireLe reste vaut a moins ce multiple
Vérifierr plus petit que b, et a = b × q + r
Calculer une division euclidienne · Les quatre gestes à enchaîner pour chaque division.
Quand les nombres sont grands, on pose la division. L'algorithme de la division posée a été étudié au cours moyen 4 ; en 6e, tu le réutilises avec des nombres plus grands. À chaque étape, tu cherches dans la table du diviseur le multiple qui convient, comme ci-dessus, mais sur un morceau du dividende.
Interpréter le quotient et le reste dans un problème
Les textes officiels insistent sur un point : savoir interpréter les deux résultats d'une division euclidienne, c'est-à-dire donner un sens au quotient, qui peut être pris par défaut ou par excès, et au reste 1. Le calcul seul ne suffit pas, il faut relire la question posée.
Prends 47 billes et des sacs de 6. Le calcul donne 47=6×7+5. Selon la question, la réponse change.
Deux autres usages de la division euclidienne
La division euclidienne n'est pas réservée aux problèmes de partage. Deux situations de la vie courante reviennent souvent en 6e.
La division euclidienne sert aussi à écrire autrement une fraction dont le numérateur est plus grand que le dénominateur 4. Prenons la fraction 517. On a 17=5×3+2, donc :
517=55×3+2=3+52.
Le quotient 3 est la partie entière, et le reste 2 donne la fraction 52 qui complète. Cette écriture te sera utile quand tu placeras des fractions sur une droite graduée.
Les erreurs fréquentes et comment les éviter
Exercices corrigés
Exercice 1 Poser une division et l'écrire
★☆☆Environ 6 min
Effectue la division euclidienne de 593 par 7. Donne le quotient, le reste, puis l'égalité qui relie les quatre nombres. Vérifie ton résultat.
Indice 1
Cherche dans la table de 7 le plus grand multiple qui ne dépasse pas 59.
Indice 2
Pour vérifier, calcule 7× quotient + reste.
Voir la correction pas à pas
On pose 593 ÷ 7. Avec les centaines et dizaines, on prend 59. Dans la table de 7, le dernier multiple qui ne dépasse pas 59 est 7×8=56 : premier chiffre du quotient 8.
On calcule 59−56=3, puis on descend le chiffre 3 : on obtient 33.
Dans la table de 7, le dernier multiple qui ne dépasse pas 33 est 7×4=28 : second chiffre du quotient 4. On calcule 33−28=5.
Le quotient est 84 et le reste est 5. L'égalité s'écrit 593=7×84+5.
Vérification : 7×84=588, puis 588+5=593. De plus 5<7 : le résultat est correct.
Le quotient est 84 et le reste est 5, avec 593=7×84+5.
Exercice 2 Les bus de la sortie
★★☆Environ 7 min
Un collège organise une sortie pour 250 élèves. Chaque bus a 48 places. Combien de bus faut-il commander pour que tous les élèves puissent partir ? Combien de places resteront libres ?
Indice 1
Effectue d'abord la division euclidienne de 250 par 48.
Indice 2
Quand il reste des élèves, il faut un bus supplémentaire.
Voir la correction pas à pas
On cherche le plus grand multiple de 48 qui ne dépasse pas 250. On teste : 48×4=192 et 48×5=240, mais 48×6=288 dépasse 250. Le quotient est 5.
Le reste est 250−240=10. On écrit 250=48×5+10, et 10<48.
Cinq bus emportent 240 élèves, mais 10 élèves restent à terre : il faut un sixième bus. Le nombre de bus est le quotient par excès, 5+1=6.
Dans ce sixième bus, 10 places sont occupées sur 48. Le nombre de places libres est le complément du reste au diviseur : 48−10=38 places.
Il faut 6 bus, et 38 places resteront libres.
Exercice 3 Retrouver le plus grand dividende
★★★Environ 8 min
Dans une division euclidienne, le diviseur est 8 et le quotient est 15.
Quelles valeurs le reste peut-il prendre ?
Quel est le plus grand dividende possible ? Quel est le plus petit ?
Indice 1
Le reste est strictement inférieur au diviseur.
Indice 2
Utilise a=8×15+r avec la plus grande, puis la plus petite valeur de r.
Voir la correction pas à pas
Le reste est un entier naturel strictement inférieur au diviseur 8. Il peut donc valoir 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ou 7.
Le dividende vérifie a=8×15+r=120+r.
Le plus grand dividende correspond au plus grand reste, r=7 : a=120+7=127.
Le plus petit dividende correspond au plus petit reste, r=0 : a=120.
Contrôle : 127=8×15+7 avec 7<8. Le nombre suivant, 128, vaudrait 8×16+0 : son quotient serait 16, pas 15.
Le reste est compris entre 0 et 7. Le plus grand dividende possible est 127, le plus petit est 120.
Exercice 4 Durées et fractions
★★☆Environ 6 min
L'intégrale d'une série dure 1 000 minutes. Exprime cette durée en heures et minutes.
Écris la fraction 423 sous la forme d'un entier plus une fraction inférieure à 1.
Indice 1
Une heure vaut 60 minutes : divise 1 000 par 60.
Indice 2
Pour la fraction, effectue la division euclidienne de 23 par 4.
Voir la correction pas à pas
On divise 1 000 par 60. On teste : 60×16=960 et 60×17=1020, qui dépasse 1 000. Le quotient est 16.
Le reste est 1000−960=40. On écrit 1000=60×16+40 avec 40<60 : la durée est de 16 h 40 min.
Pour la fraction, on divise 23 par 4 : 4×5=20 et 4×6=24 dépasse 23. Quotient 5, reste 23−20=3. Donc 23=4×5+3.
On en déduit 423=44×5+3=5+43.
1 000 minutes font 16 h 40 min, et 423=5+43.
Quiz
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Le reste est toujours strictement plus petit que le diviseur 5 : avec un diviseur de 7, il va de 0 à 6. Le nombre 7 est tentant, mais s'il restait 7, on pourrait encore former une part entière de 7. Le reste 0 est possible : c'est le cas où la division tombe juste.
6×7+5=42+5=47 et 5<6 : l'écriture est correcte. La deuxième égalité est exacte (36+11=47), mais le reste 11 dépasse 6, ce n'est donc pas la division euclidienne. La troisième donne 30+7=37 et la quatrième 48+1=49 : ces égalités sont fausses.
Comme 24=6×4+0, le reste est bien 0 et 24 est un multiple de 6. Penser qu'un reste doit toujours être non nul est une erreur fréquente : zéro est un reste valable.
On a 12×16=192 et 12×17=204, qui dépasse 200. Le quotient est 16 et le reste vaut 200−192=8, avec 8<12. Le nombre 16 est le quotient, pas le reste : c'est la confusion qui tente.
On a 38=5×7+3. Sept canoës accueillent 35 enfants, mais 3 resteraient à terre : il en faut un de plus, soit 8. Répondre 7 revient à donner le quotient par défaut, qui ne répond pas à la question « tous ». La réponse 3 est le reste, pas un nombre de canoës.
Le quotient est 4, le reste est 3 et 23 est bien le dividende. L'affirmation « le reste est 18 » est fausse : 23=5×1+18 est une égalité vraie, mais 18 est supérieur à 5, donc ce n'est pas le reste de la division euclidienne.
On divise par 60 : 130=60×2+10. Le quotient 2 donne les heures, le reste 10 donne les minutes, soit 2 h 10 min 4. La réponse 2 h 30 min vient d'un partage à 100 minutes par heure, ce qui est faux : une heure compte 60 minutes.
On a 3=8×0+3 avec 3<8 : quotient 0, reste 3. Le dividende est trop petit pour contenir une part entière de 8, mais la division reste possible. Le quotient 3 et le reste 0 correspondraient à 8×3=24, ce qui est faux.
Les questions qu'on se pose
À quoi sert la division euclidienne dans la vie de tous les jours ?
Elle sert dès qu'on répartit des objets ou des personnes en groupes de même taille : équipes, tables, boîtes, véhicules. Elle sert aussi à convertir des durées, par exemple des minutes en heures et minutes 4. Le quotient te dit combien de groupes complets tu fais, le reste te dit ce qui n'entre pas.
Quelle différence entre la division euclidienne et la division décimale ?
La division euclidienne s'arrête quand le reste est plus petit que le diviseur : on obtient deux entiers, un quotient et un reste 6. La division décimale continue après la virgule et donne un quotient décimal ou une valeur approchée. Par exemple, 47÷6 donne 7 reste 5 en division euclidienne. La division décimale sera étudiée dans un autre chapitre.
Comment savoir si je dois donner le quotient, le quotient plus un, ou le reste ?
Relis la question. Si on demande des parts complètes, donne le quotient. Si on demande de tout ranger ou transporter et qu'il reste quelque chose, donne le quotient plus un. Si on demande ce qui reste, donne le reste. Savoir interpréter ces résultats fait partie de ce qui est attendu en 6e 1.
Pourquoi le reste doit-il être plus petit que le diviseur ?
Parce qu'un reste égal ou plus grand que le diviseur contiendrait encore au moins une part entière : le calcul ne serait pas terminé 5. Si tu trouves un reste trop grand, augmente ton quotient d'une unité (ou plus) et recalcule le reste.
Faut-il vraiment connaître ses tables de multiplication ?
Oui, c'est la clé. Pour trouver le quotient, on cherche dans la table du diviseur le multiple qui s'approche le plus du dividende sans le dépasser 5. Avec les tables bien en tête, tu gagnes du temps et tu fais moins d'erreurs.
Sources
Programme visé : Division euclidienne · Ministère de l'Éducation nationale — Bulletin Officiel
Division euclidienne, Ministère de l'Éducation nationale — Bulletin Officiel. Consulté le 10 novembre 2026.