Expressions avec parenthèses : cours de 6e

Quand tu lis « $5+3\times 4$ », tu as deux opérations et plusieurs façons de les enchaîner. Si deux élèves ne calculent pas dans le même ordre, ils n'obtiennent pas le même nombre. Or un calcul doit donner un seul résultat, quel que soit celui qui le fait. Pour cela, les mathématiques utilisent des règles communes : les priorités opératoires et les parenthèses.

Ce chapitre prolonge le calcul mental et les automatismes que tu connais déjà. Au cycle 3, on travaille le calcul en ligne avec des parenthèses dans des situations très simples ¹. Ici, tu vas apprendre à lire une expression, à repérer quelle opération passe en premier, puis à écrire ton calcul proprement, ligne après ligne.

Dans une expression, on distingue des termes : ce sont les morceaux séparés par des signes $+$ ou $-$. Dans $5+3\times 4$, il y a deux termes : $5$ et $3\times 4$. Repérer les termes aide beaucoup, car cela montre la structure de l'expression. Les ressources pédagogiques du cycle 3 insistent justement sur ce repérage des termes d'une addition, qui prépare aussi le futur calcul littéral ².

Tu connais déjà du vocabulaire pour traduire une phrase en calcul :

• la somme de deux nombres est le résultat de leur addition ;
• le produit de deux nombres est le résultat de leur multiplication ;
• le double d'un nombre, c'est ce nombre multiplié par 2, le triple par 3 ;
• la moitié d'un nombre, c'est ce nombre partagé en deux parts égales.

Ce vocabulaire somme, produit, double, triple et moitié sert à calculer et à écrire des expressions ³.

Les documents de soutien du cycle 3 le disent aussi : l'élève doit repérer que, dans une expression numérique, la multiplication est l'opération prioritaire ². Revenons à Sam et Inès : Inès a raison, car elle effectue d'abord $3\times 4$. Le résultat de $5+3\times 4$ est donc $17$.

Une erreur typique consiste à calculer de gauche à droite sans réfléchir. Les évaluations nationales de début de 5e s'intéressent d'ailleurs à ce piège : un élève qui additionne trop tôt ne reconnaît pas la structure de l'expression ².

Les parenthèses permettent de changer l'ordre naturel des calculs. Sans elles, la multiplication passe d'abord. Avec elles, tu peux forcer une addition ou une soustraction à passer en premier.

Prenons les mêmes nombres, avec et sans parenthèses :

$\begin{aligned}5+3\times 4&=5+12=17\\(5+3)\times 4&=8\times 4=32\end{aligned}$

Les nombres et les opérations sont les mêmes, mais le résultat change : $17$ d'un côté, $32$ de l'autre. C'est la preuve que les parenthèses ne sont jamais décoratives.

Il arrive qu'une parenthèse en contienne une autre, comme dans $2\times(10-(3+4))$. On calcule alors de l'intérieur vers l'extérieur : la parenthèse la plus profonde passe la première. Au cycle 3, on reste sur des cas simples ¹ ; voici d'abord une parenthèse qui contient elle-même plusieurs opérations.

Les parenthèses sont très utiles pour écrire un calcul à partir d'une phrase. Les mots du vocabulaire (somme, produit, double, triple) indiquent la structure. Si le mot « somme » ou « différence » porte sur un groupe de nombres, ce groupe se met entre parenthèses avant d'être multiplié.

Compare les deux premières lignes : le même vocabulaire, dans un ordre différent, donne deux expressions différentes et deux résultats différents. « Le double de la somme » multiplie toute la somme par 2 ; « la somme du double » ne double que le premier nombre.

Cette traduction sert dans les problèmes. Si un client achète $3$ cahiers à $2$ euros et $4$ stylos à $3$ euros, la dépense totale s'écrit $3\times 2+4\times 3$ : les deux produits se calculent d'abord, puis on additionne, sans parenthèses nécessaires. Si $5$ enfants paient chacun un sandwich à $4$ euros et une boisson à $2$ euros, la dépense totale s'écrit $5\times(4+2)$ : on cherche d'abord le prix d'un menu, puis on multiplie.