Publié le 10 novembre 2026 · Mis à jour le 10 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Un nombre a est un multiple de b quand a=b×k avec k entier ; alors b est un diviseur de a.
Pour tester : fais la division euclidienne ; si le reste est 0, c'est un multiple (et un diviseur). Sinon, non.
Pour lister les multiples de b : b×0, b×1, b×2, etc. (il y en a une infinité).
Pour lister les diviseurs de a : teste 1, 2, 3… et note chaque diviseur avec son partenaire, jusqu'à ce que les deux se rejoignent.
Les diviseurs d'un nombre sont en nombre fini ; 1 et le nombre lui-même en font toujours partie.
Pourquoi étudier multiples et diviseurs ?
Tu connais déjà les tables de multiplication et la division. Ce chapitre donne des mots précis à ce que tu fais depuis longtemps : quand tu dis que 24 « se trouve dans la table de 6 », tu dis en réalité que 24 est un multiple de 6. Quand tu partages 24 billes en paquets égaux sans rien laisser, tu cherches un diviseur de 24.
Dès la 6e, le programme te demande de décider si un nombre entier est un multiple ou un diviseur d'un autre 23. Il faut aussi connaître les définitions de multiple, de diviseur, de nombre pair et de nombre impair 1.
Cette notion sert ensuite partout : simplifier une fraction, reconnaître un nombre divisible par 2, 3, 5 ou 9 (les critères de divisibilité, chapitre suivant), organiser un partage équitable, faire du calcul mental.
Qu'est-ce qu'un multiple ?
Pour obtenir la liste des multiples d'un nombre b, on le multiplie successivement par 0, 1, 2, 3… Voici les premiers multiples de 7 : 0 ; 7 ; 14 ; 21 ; 28 ; 35 ; 42 ; 49 ; 56 ; 63 ; 70…
Qu'est-ce qu'un diviseur ?
La notion de diviseur est étroitement liée à celle de multiple 4 : les deux phrases ci-dessous disent exactement la même chose.
« 56 est un multiple de 8 » ;
« 8 est un diviseur de 56 ».
On peut aussi dire que 56 est divisible par 8.
Le lien avec la division euclidienne
Pour décider si b divise a, on s'appuie sur la division euclidienne de a par b. Rappelons le vocabulaire : on part d'un dividendea et d'un diviseurb ; l'opération donne un quotientq et un rester4.
Teste 1, 2, 3…Divise le nombre par chaque entier dans l'ordre.
Repère le resteReste 0 : l'entier est un diviseur.
Note le partenaireLe quotient est aussi un diviseur.
Arrête-toiQuand l'entier rejoint son partenaire.
Lister tous les diviseurs d'un nombre · Méthode des couples de diviseurs
Lister les multiples et les diviseurs
Nombres pairs et impairs, cas particuliers
Résoudre un problème avec multiples et diviseurs
Les situations concrètes se ramènent à deux questions. Partager sans reste : on cherche un diviseur. Retrouver un événement qui se répète (un bus toutes les 12 minutes, un tableau de 6 en 6) : on cherche un multiple.
Erreurs fréquentes et conseils pour s'entraîner
Exercices corrigés
Exercice 1 Tous les diviseurs d'un nombre
★☆☆Environ 8 min
Donne la liste de tous les diviseurs de 36 puis indique combien il y en a. Même question pour 30 afin de comparer.
Indice 1
Écris 36 sous forme de produits de deux entiers : 1×36, 2×18…
Indice 2
Arrête-toi quand les deux facteurs du produit sont égaux ou se croisent.
Voir la correction pas à pas
On teste 1 : 36=1×36, donc 1 et 36 sont des diviseurs.
On teste 2 : 36=2×18, donc 2 et 18 sont des diviseurs.
On teste 3 : 36=3×12, donc 3 et 12 sont des diviseurs.
On teste 4 : 36=4×9, donc 4 et 9 sont des diviseurs.
On teste 5 : 36=5×7+1, le reste est 1, donc 5 n'est pas un diviseur.
On teste 6 : 36=6×6, donc 6 est un diviseur (compté une seule fois). Les deux facteurs sont égaux, on s'arrête.
Les diviseurs de 36 sont 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 et 36 : il y en a 9.
Pour 30 : 1×30, 2×15, 3×10, 5×6 ; 4 ne convient pas. Il y en a 8, donc 30 en a un de moins que 36.
36 possède 9 diviseurs et 30 en possède 8. Un carré comme 36 a un nombre impair de diviseurs, car l'un d'eux (6) est son propre partenaire.
Exercice 2 Multiples de 7 entre 100 et 200
★★☆Environ 10 min
Combien y a-t-il de multiples de 7 compris entre 100 et 200 (bornes incluses) ? Donne le plus petit et le plus grand.
Indice 1
Cherche le plus petit multiple de 7 supérieur ou égal à 100 : essaie 7×14 puis 7×15.
Indice 2
Pour le plus grand, essaie 7×28 puis 7×29.
Voir la correction pas à pas
On calcule 7×14=98 : c'est moins que 100, donc ce n'est pas dans l'intervalle.
On calcule 7×15=105 : c'est le plus petit multiple de 7 supérieur à 100.
On calcule 7×28=196 : c'est inférieur à 200, donc dans l'intervalle.
On calcule 7×29=203 : c'est supérieur à 200, donc hors de l'intervalle. Le plus grand est 196.
Les multiples sont 7×k avec k allant de 15 à 28 inclus.
Il y a 28−15+1=14 valeurs de k, donc 14 multiples.
Il y a 14 multiples de 7 entre 100 et 200 : le plus petit est 105, le plus grand est 196. Attention à ne pas oublier de compter les deux extrémités quand tu comptes les valeurs de k.
Exercice 3 Le plus petit multiple à trois chiffres
★★☆Environ 8 min
Quel est le plus petit nombre à trois chiffres qui soit un multiple de 13 ? Justifie ta réponse par une égalité.
Indice 1
Le plus petit nombre à trois chiffres est 100.
Indice 2
Cherche le premier entier k tel que 13×k atteint ou dépasse 100.
Voir la correction pas à pas
Un nombre à trois chiffres est supérieur ou égal à 100.
On calcule 13×7=91 : il n'a que deux chiffres, donc il ne convient pas.
On calcule 13×8=104 : il a trois chiffres.
91 et 104 sont deux multiples consécutifs de 13 : il n'y en a aucun entre les deux. Comme 91 a deux chiffres, 104 est le plus petit multiple de 13 à trois chiffres.
On justifie : 104=13×8.
Le plus petit multiple de 13 à trois chiffres est 104, car 104=13×8 et le multiple précédent, 91, n'a que deux chiffres.
Exercice 4 Vrai ou faux, avec preuve
★★★Environ 10 min
Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse et justifie par une égalité ou une division.
252 est un multiple de 4.
12 est un diviseur de 250.
105 est divisible par 21.
Indice 1
Pour une réponse « vrai », écris une égalité du type a=b×k.
Indice 2
Pour une réponse « faux », donne la division euclidienne et son reste non nul.
Voir la correction pas à pas
Affirmation 1 : 4×60=240 et 4×3=12, donc 4×63=252. L'affirmation est vraie.
Affirmation 2 : 12×20=240 et 250−240=10, donc 250=12×20+10. Le reste est 10, non nul : l'affirmation est fausse.
Affirmation 3 : 21×5=105, le reste est nul. 105 est divisible par 21 : l'affirmation est vraie.
Les affirmations 1 et 3 sont vraies, la 2 est fausse. Dans chaque cas, c'est l'égalité a=b×k (ou le reste non nul) qui sert de preuve, pas un simple « ça se voit ».
Quiz
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72=9×8, donc 72 est un multiple de 9. Les autres ne le sont pas : 9×7=63 et 9×8=72 encadrent 65, et 91 et 98 tombent entre 9×10=90 et 9×11=99 avec un reste non nul.
Vrai : 0=7×0, ce qui correspond à la définition d'un multiple avec k=0. L'idée « 0 n'est multiple de rien » est tentante mais fausse : 0 est multiple de tous les entiers.
20=1×20=2×10=4×5, d'où 1, 2, 4, 5, 10, 20. La deuxième liste oublie 10, la troisième oublie 1 et 20, la dernière ajoute 15 qui ne divise pas 20 (20=15×1+5).
12=1×12=2×6=3×4, donc les diviseurs sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12 : six en tout. Si tu trouves 4 ou 5, tu as oublié 1 ou 12, ou un partenaire.
54=6×9, 66=6×11 et 96=6×16. En revanche 80=6×13+2 : le reste est 2, donc 80 n'est pas un multiple de 6.
14×7=98 : c'est la preuve qu'il s'agit d'un multiple. Être plus grand que 14 est normal pour un multiple, cela ne prouve rien. Être pair n'empêche pas non plus d'être multiple de 14. Comparer 14 à 7 n'apporte aucune preuve.
Vrai : l'égalité 35=5×7 exprime à la fois que 35 est un multiple de 5 et que 5 divise 35. Dire que seul « multiple » serait vrai est faux, car les deux phrases sont équivalentes.
250=12×20+10, le reste vaut 10 et il est inférieur à 12. Un reste non nul prouve que 12 ne divise pas 250. Le nombre 20 est le quotient, pas le reste ; et un reste de 10 n'indique jamais un multiple.
Les questions qu'on se pose
Quelle est la différence entre un multiple et un diviseur ?
Ce sont deux mots pour une même égalité. Dans 56=8×7, 56 est un multiple de 8 et de 7, tandis que 8 et 7 sont des diviseurs de 56. Le multiple est le résultat du produit, le diviseur est un facteur.
Un nombre a-t-il un nombre limité de multiples ?
Non. On peut toujours multiplier par un entier de plus, donc un nombre a une infinité de multiples. Ses diviseurs, eux, sont en nombre fini, car ils ne dépassent jamais le nombre.
Est-ce que 0 est un multiple, et peut-il être un diviseur ?
0 est un multiple de tout entier, car 0=b×0. En revanche, on ne divise jamais par 0 : il n'est le diviseur d'aucun nombre.
Comment savoir vite si un nombre en divise un autre ?
Fais la division euclidienne : un reste nul prouve que c'est un diviseur, un reste non nul prouve le contraire. Tu peux aussi encadrer le nombre entre deux multiples consécutifs. Les critères de divisibilité (chapitre suivant) donneront des raccourcis pour 2, 3, 5, 9 et 10.
Pourquoi 1 et le nombre lui-même sont-ils toujours des diviseurs ?
Parce que a=1×a : cette égalité fonctionne pour tout entier a. Ces deux diviseurs sont donc toujours dans la liste, et il ne faut jamais les oublier quand tu cherches tous les diviseurs.