Le pavé droit : cours de 6e

Regarde autour de toi : une boîte de céréales, un livre, une armoire, une salle de classe. Ces objets ont presque tous la même forme, celle d'un pavé droit. Le mot « pavé » rappelle le pavé de rue, mais en mathématiques il désigne un solide précis, avec des règles précises.

Ce cours te permet de reconnaître un pavé droit, de décrire ses faces, ses arêtes et ses sommets, puis de calculer son volume, c'est-à-dire la place qu'il occupe dans l'espace. Tu as déjà croisé les solides et leurs patrons : on s'en sert ici pour regarder le pavé de plus près.

Cette forme est très pratique. Un pavé droit peut en contenir d'autres, plus petits : une boîte contient des morceaux de sucre, un immeuble contient des pièces.⁶ C'est aussi pour cela qu'on le retrouve dans les boîtes, les armoires et les bâtiments.

Tu peux l'imaginer comme une boîte à chaussures fermée. Chaque face est un rectangle, c'est-à-dire un quadrilatère à quatre angles droits. Les angles du solide sont donc eux aussi des angles droits : en un sommet, les trois arêtes qui se rejoignent forment trois angles droits.⁶

On peut aussi voir un pavé comme un empilement de couches identiques. Un livre en est un bon exemple : chaque feuille est un rectangle, et en empilant beaucoup de feuilles on obtient un solide en forme de pavé.² Garde cette image en tête, elle servira pour le volume.

Un moyen de ne pas se tromper en comptant les arêtes : sur le dessus, il y a 4 arêtes ; sur le dessous, 4 arêtes aussi ; il reste les arêtes « verticales » qui relient le dessus au dessous, au nombre de 4. Cela fait $4 + 4 + 4 = 12$. Pour les sommets, c'est le même raisonnement : 4 en haut et 4 en bas, soit 8.

Cela donne trois paires de faces. Le dessus et le dessous forment une paire, l'avant et l'arrière une autre, la gauche et la droite la dernière. Si tu mesures le dessus, tu connais aussi le dessous sans le mesurer.

Les arêtes parallèles ont la même longueur. Il suffit donc de connaître trois longueurs pour décrire entièrement un pavé : deux pour une face du dessous (la longueur et la largeur) et une pour la hauteur.

Un cube est un pavé, mais un pavé n'est pas toujours un cube. C'est comme pour le carré et le rectangle : tout carré est un rectangle, mais l'inverse est faux.

Le programme de 6e demande de déterminer le volume d'un pavé droit de deux façons : en dénombrant des unités (des cubes de taille adaptée) ou en utilisant une formule.¹ Commençons par le comptage, qui donne du sens à la formule.

Le raisonnement se généralise. Une couche contient autant de cubes que la surface du fond en compte (longueur fois largeur). Il y a ensuite autant de couches que la hauteur en cubes. On multiplie donc le nombre de cubes par couche par le nombre de couches.

Remarque utile : $a \times b$ est l'aire du rectangle du fond. Le volume se retrouve donc aussi en multipliant l'aire de la base par la hauteur.

Pour appliquer la formule, les longueurs doivent être exprimées dans la même unité.³ Si une dimension est en millimètres et une autre en centimètres, le produit n'a pas de sens tant qu'on n'a pas converti.

Parfois on connaît le volume et deux dimensions, et on cherche la troisième. Comme $V = a \times b \times c$, on divise le volume par le produit des deux dimensions connues : $c = V \div (a \times b)$.