Le pavé droit : exercices corrigés de 6e

Une rangée contient 4 cubes et une couche compte 3 rangées : une couche contient $4 \times 3 = 12$ cubes.

Il y a 2 couches identiques : $12 \times 2 = 24$ cubes.

On retrouve le produit des trois dimensions : $4 \times 3 \times 2 = 24$.

Le volume du pavé est donc de 24 petits cubes.

Les trois dimensions sont en cm : on peut calculer directement.

On écrit la formule : $V = a \times b \times c$.

On remplace : $V = 7 \times 4 \times 3$.

On calcule : $7 \times 4 = 28$, puis $28 \times 3 = 84$.

Le volume est $84\ \text{cm}^3$.

Les six faces d'un cube sont des carrés, et un carré est un rectangle particulier : le cube est donc un pavé droit dont toutes les faces sont carrées.

Les trois dimensions sont égales à 6 cm.

On calcule : $V = 6 \times 6 \times 6$.

$6 \times 6 = 36$, puis $36 \times 6 = 216$.

Le volume du cube est $216\ \text{cm}^3$.

Les longueurs ne sont pas dans la même unité : il faut convertir avant de calculer ³.

On convertit en cm : $45\ \text{mm} = 4{,}5\ \text{cm}$.

Les dimensions sont maintenant $4{,}5$ cm, $3$ cm et $2$ cm.

On calcule : $V = 4{,}5 \times 3 \times 2$.

$4{,}5 \times 3 = 13{,}5$, puis $13{,}5 \times 2 = 27$.

Le volume est $27\ \text{cm}^3$.

On note $h$ la hauteur en cm. Le volume vaut $6 \times 5 \times h$.

On a donc $30 \times h = 90$.

On cherche le nombre qui, multiplié par 30, donne 90 : on divise, $h = 90 \div 30$.

$h = 3$.

Vérification : $6 \times 5 \times 3 = 90$, ce qui est bien le volume donné.

La hauteur du pavé est $3$ cm.

Le pavé a 6 faces rectangulaires ⁶, égales deux à deux ² : trois paires.

Dessus et dessous : $5 \times 3 = 15$ cm² chacune, soit $2 \times 15 = 30$ cm².

Devant et derrière : $5 \times 2 = 10$ cm² chacune, soit $2 \times 10 = 20$ cm².

Côtés gauche et droit : $3 \times 2 = 6$ cm² chacune, soit $2 \times 6 = 12$ cm².

On additionne : $30 + 20 + 12 = 62$.

L'aire totale est $62\ \text{cm}^2$.

Un pavé droit possède 12 arêtes ⁶.

Ses faces opposées sont superposables : les arêtes se répartissent en trois groupes de 4 arêtes de même longueur.

Quatre arêtes de 8 cm : $4 \times 8 = 32$ cm.

Quatre arêtes de 5 cm : $4 \times 5 = 20$ cm.

Quatre arêtes de 3 cm : $4 \times 3 = 12$ cm.

On additionne : $32 + 20 + 12 = 64$.

Il faut $64$ cm de fil.

Premier pavé : $6 \times 4 \times 3 = 72$ cm³.

Second pavé : $6 \times 4 \times 5 = 120$ cm³.

Les deux pavés ne se chevauchent pas : on additionne, $72 + 120 = 192$ cm³.

Vérification : empilés, ils forment un pavé de hauteur $3 + 5 = 8$ cm.

Son volume est $6 \times 4 \times 8 = 192$ cm³, comme au calcul précédent.

Le volume du solide est $192\ \text{cm}^3$.

Sur la longueur : $30 \div 2 = 15$ morceaux.

Sur la largeur : $20 \div 2 = 10$ morceaux.

Sur la hauteur : $10 \div 2 = 5$ morceaux.

Nombre total de morceaux : $15 \times 10 \times 5 = 750$.

Volume de la boîte : $30 \times 20 \times 10 = 6\,000$ cm³.

Volume d'un morceau : $2 \times 2 \times 2 = 8$ cm³.

Contrôle : $6\,000 \div 8 = 750$, ce qui confirme le résultat.

La boîte peut contenir au maximum $750$ morceaux de sucre.