Ajouter des fractions de même dénominateur : cours de 6e

Tu as déjà rencontré les fractions pour partager une pizza, une tablette de chocolat ou un trajet. Très vite, une question se pose : si tu manges une partie le midi et une autre le soir, quelle part as-tu mangée en tout ? Il faut alors additionner des fractions.

Dans ce cours, on commence par le cas le plus simple : les fractions ont le même dénominateur. Le programme de 6e demande justement de savoir ajouter des fractions de même dénominateur, de connaître quelques écritures décimales de fractions simples et de donner du sens à une fraction dont le numérateur dépasse le dénominateur ¹. Ces trois idées sont au cœur de la page.

Tu connais déjà les notions qui servent de point de départ : fraction et quotient, fractions sur une droite graduée, fractions égales, comparaison de fractions. Si l'une d'elles te paraît floue, relis-la d'abord : l'addition s'appuie dessus.

Pour bien comprendre l'addition, il faut donner un rôle à chacun de ces deux nombres.

• Le dénominateur dit en combien de parts égales on a découpé une unité. Avec $\frac{3}{4}$, l'unité (un gâteau, un segment, une heure…) est coupée en quatre parts égales : on parle de quarts.
• Le numérateur dit combien de ces parts on prend. Avec $\frac{3}{4}$, on en prend trois.

Ainsi, $\frac{3}{4}$ se lit « trois quarts » : trois parts, chacune valant un quart. C'est comme dire « trois pommes » : le nom du fruit (le dénominateur) donne la nature de l'objet compté, le nombre (le numérateur) dit combien il y en a.

Commençons par une situation concrète. Une tablette de chocolat est partagée en $8$ carrés identiques. Tu en manges $3$ à la récréation, puis $2$ au goûter. Combien en as-tu mangé en tout ? Tu comptes : $3+2=5$ carrés, donc cinq huitièmes de la tablette.

En écriture fractionnaire :

$\frac{3}{8}+\frac{2}{8}=\frac{5}{8}$

Tu remarques deux choses : les numérateurs ont été additionnés ($3+2=5$), et le dénominateur est resté $8$.

Le dénominateur ne sert qu'à nommer la taille des parts. Quand tu ajoutes des huitièmes à des huitièmes, tu obtiens encore des huitièmes : tu en as simplement plus.

Compare avec un calcul de la vie courante : $3$ stylos $+$ $2$ stylos $=$ $5$ stylos. Personne ne dirait « $5$ stylos-stylos ». De même, $3$ huitièmes $+$ $2$ huitièmes $=$ $5$ huitièmes, et non « $5$ seizièmes ».

Reprenons l'exemple 1 : le calcul a donné $\frac{6}{9}$. C'est correct, mais cette écriture peut souvent être raccourcie.

Multiplier ou diviser le haut et le bas d'une fraction par un même nombre ne change pas sa valeur : on passe à une fraction équivalente, qui désigne la même quantité ⁵. Ici, $6$ et $9$ sont des multiples de $3$ :

$\frac{6}{9}=\frac{6\div 3}{9\div 3}=\frac{2}{3}$

De même, $\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$ (division par $4$) et $\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$ (division par $2$).

Le programme demande aussi de connaître les écritures décimales de quelques fractions simples ¹. Avec les dixièmes, c'est immédiat : $\frac{8}{10}=0{,}8$. Avec les autres, on retient les fractions usuelles : $\frac{1}{2}=0{,}5$, $\frac{1}{4}=0{,}25$, $\frac{3}{4}=0{,}75$ et $\frac{1}{5}=0{,}2$.

Ainsi, $\frac{1}{4}+\frac{2}{4}=\frac{3}{4}=0{,}75$ : tu peux donner le résultat sous les deux formes.

Que se passe-t-il quand la somme franchit une unité entière ? Imagine une pizza coupée en $4$ parts égales. Tu en manges $3$, puis ton frère t'en donne $2$ de plus, prises sur une deuxième pizza identique. Au total :

$\frac{3}{4}+\frac{2}{4}=\frac{5}{4}$

Le numérateur $5$ dépasse le dénominateur $4$. Ce n'est pas une faute : la fraction est supérieure à $1$. Le programme de 6e attend d'ailleurs que tu saches interpréter ce genre de fraction, où le haut est plus grand que le bas ¹.

Cinq quarts, c'est quatre quarts (une pizza entière) plus un quart :

$\frac{5}{4}=\frac{4}{4}+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$

Sur une droite graduée en quarts, on part de $0$ et on avance de $5$ graduations : on passe le point $1$ (quatrième graduation) et on s'arrête un quart plus loin.

Après chaque addition, pose-toi deux questions rapides.

1. Le dénominateur est-il resté le même ? S'il a changé, il y a une erreur.
2. Le résultat est-il plus grand que chacune des fractions de départ ? On a ajouté des parts, donc la somme ne peut pas être plus petite.

Pour comparer deux fractions de même dénominateur, on regarde les numérateurs : plus le numérateur est grand, plus la fraction est grande ⁵. Cela te donne un moyen de contrôler une somme : $\frac{3}{8}+\frac{2}{8}=\frac{5}{8}$, et $5$ est bien plus grand que $3$ et que $2$.

Tu peux aussi t'en servir pour la soustraction, qui suit la même logique : on soustrait les numérateurs et on garde le dénominateur ³. Par exemple, $\frac{7}{9}-\frac{4}{9}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$.

Cette règle est la base de tout le travail sur les opérations avec les fractions. Plus tard, tu passeras aux dénominateurs différents, en commençant par le cas où l'un est multiple de l'autre ².

La notion suivante de ta progression est la fraction d'une quantité : prendre, par exemple, les trois quarts de $120$ billes. Tu y retrouveras des écritures comme $\frac{3}{4}$, mais pour calculer une part d'un nombre plutôt que pour additionner deux parts.