Fractions égales : cours de 6e

Imagine une tablette de chocolat. Tu en manges la moitié. Ton frère, lui, découpe la tablette en quatre carrés égaux et en prend deux. Qui a mangé le plus ? Personne : vous avez pris la même quantité. Pourtant, tu écris $\frac{1}{2}$ et ton frère écrit $\frac{2}{4}$. Ces deux écritures sont différentes, mais elles décrivent la même part.

C'est exactement l'idée de ce cours : une même quantité peut s'écrire avec des fractions différentes. Savoir passer de l'une à l'autre te servira ensuite pour comparer des fractions, les additionner et calculer la fraction d'une quantité.

Avant d'avancer, souviens-toi de ce qu'est une fraction. Pour en représenter une sur une figure, on découpe la figure en parts de même taille : leur nombre est le dénominateur. On en retient ensuite autant que le numérateur le demande ⁶. Ainsi, $\frac{3}{4}$ veut dire 3 parts choisies parmi 4 parts égales qui forment un seul tout ². Une fraction s'écrit aussi comme un quotient de deux entiers : $\frac{a}{b}$ donne le résultat de $a$ divisé par $b$ ⁶¹.

Une activité classique consiste à colorier la même surface d'un rectangle de plusieurs façons : selon le découpage choisi, chacun écrit une fraction différente, alors que la surface coloriée reste identique ⁵. Le nombre de parts change, la taille de chaque part change aussi, mais la quantité totale coloriée ne change pas.

Prenons un rectangle coupé en 3 parties égales dont on colorie 2 : on a $\frac{2}{3}$. Coupons maintenant chaque tiers en 2 : le rectangle compte 6 parties égales et la zone coloriée en contient 4. On écrit $\frac{4}{6}$. La zone n'a pas bougé : $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$.

Cette méthode permet de répondre à des questions du type : existe-t-il une fraction égale à $\frac{2}{5}$ dont le dénominateur est 81 ? Il faudrait passer de 5 à 81 en multipliant par un entier, or $81\div 5=16{,}2$ n'est pas un entier. On ne peut donc pas l'obtenir de cette manière avec des entiers. En revanche, avec un dénominateur de 45, c'est possible : $5\times 9=45$, donc $\frac{2}{5}=\frac{18}{45}$ (une question de ce genre est travaillée dans les activités de Sesamath ⁵).

Il existe aussi le chemin inverse : quand le numérateur et le dénominateur se découpent en groupes identiques, on peut les regrouper. Simplifier, c'est écrire à la place d'une fraction une autre fraction de même valeur, mais plus compacte ⁶. Des nombres plus petits sont plus faciles à manipuler.

Un exercice très fréquent demande de compléter une égalité, par exemple $\frac{3}{5}=\frac{?}{35}$. Le raisonnement tient en deux temps : regarder comment on passe d'un dénominateur à l'autre, puis faire la même chose au numérateur.

Comment savoir si $\frac{12}{18}$ et $\frac{14}{21}$ sont égales sans dessiner ? Il existe deux bonnes stratégies de 6e.

Puisqu'une fraction est le résultat de la division de son numérateur par son dénominateur ¹, deux fractions égales donnent le même résultat quand on divise. Par exemple, $\frac{3}{4}$ et $\frac{6}{8}$ valent toutes deux 0,75 : $3\div 4=0{,}75$ et $6\div 8=0{,}75$.

Sur une droite graduée, les fractions égales se placent au même point. Si l'unité est découpée en 4 graduations, le point d'abscisse $\frac{1}{2}$ est celui de $\frac{2}{4}$. Si tu refais la graduation en 8 parties, ce même point se lit $\frac{4}{8}$.

Cette idée sert enfin à situer une fraction par rapport à 1 : une fraction dont le numérateur est égal au dénominateur vaut 1, par exemple $\frac{5}{5}=\frac{12}{12}=1$. Si le numérateur est plus petit, la fraction est inférieure à 1 ; s'il est plus grand, elle est supérieure à 1 ²⁵.