Fractions sur une droite graduée : cours de 6e

Jusqu'ici, tu as utilisé les fractions pour parler de parts : trois quarts d'une pizza, deux cinquièmes d'un ruban. Dans ce cours, tu fais un pas de plus. Une fraction n'est pas seulement une part de quelque chose : c'est un nombre, au même titre que 2 ou 15. Et comme tous les nombres, elle a une place sur la droite graduée.¹

Pourquoi est-ce utile ? Parce que la droite graduée permet de voir un nombre. On peut alors dire si une fraction est petite ou grande, si elle est avant ou après 1, et quel entier elle côtoie. Cette façon de voir prépare directement les chapitres suivants : fractions égales, comparaison de fractions, addition de fractions de même dénominateur.

Tu connais déjà deux idées qui servent ici : une fraction décrit un partage (on coupe une unité en parts égales) et une fraction est aussi un quotient (par exemple $\dfrac{3}{4}$ se lit « 3 divisé par 4 »). Nous allons nous appuyer sur le partage pour dessiner, et le quotient te servira pour vérifier.

Sur ce type de droite, chaque point est associé à un nombre, et chaque nombre à un point. Les points 0, 1, 2, 3… sont ceux des nombres entiers. Entre deux entiers voisins, il y a de la place pour d'autres nombres : c'est précisément là que vont se loger les fractions.

Deux détails à fixer avant d'aller plus loin :

• L'unité est la distance entre 0 et 1. Elle peut mesurer 1 cm, 5 cm, 10 carreaux : cela change l'échelle du dessin, pas le raisonnement.
• Le sens de lecture va de gauche à droite : plus un point est à droite, plus son nombre est grand.

Une fraction s'écrit avec deux nombres entiers séparés par un trait : $\dfrac{a}{b}$. Le nombre du bas, $b$, est le dénominateur. Le nombre du haut, $a$, est le numérateur. Sur la droite graduée, chacun joue un rôle précis.

Regarde ce qui se passe pour la famille des cinquièmes. On partage l'unité en 5 parts égales. Alors :

• $\dfrac{1}{5}$ est à la première graduation après 0 ;
• $\dfrac{2}{5}$ à la deuxième ;
• $\dfrac{3}{5}$ à la troisième ;
• $\dfrac{4}{5}$ à la quatrième, juste avant 1.

Plus le numérateur grandit (avec le même dénominateur), plus le point avance vers la droite. C'est ce qui permettra de comparer des fractions de même dénominateur.

Que se passe-t-il quand le numérateur est égal ou supérieur au dénominateur ? La méthode ne change pas : on partage l'unité, puis on reporte des parts. Seulement, on continue d'avancer au-delà de 1, en prolongeant les graduations de même longueur.

Cet exercice fait partie de ce qu'on attend de toi : repérer des fractions, les placer sur une droite graduée, puis les encadrer par deux entiers consécutifs.³ La droite graduée aide à le faire sans calcul compliqué.

On peut aussi faire le chemin inverse : on te donne un point sur une droite graduée, et tu dois dire quelle fraction il représente. La fiche d'accompagnement propose des exercices où l'on place des fractions sur une droite graduée.²

Pour vérifier un résultat, utilise toujours deux regards. Le regard du partage : j'ai coupé l'unité en combien de parts, j'en ai reporté combien. Le regard du quotient : $\dfrac{a}{b}$ est le résultat de $a \div b$, donc si $a \div b$ vaut un peu plus de 3, le point est un peu après 3.