Distance d'un point à une droite : cours de 6e

Tu connais déjà la distance entre deux points : c'est la longueur du segment qui les relie. Elle se mesure avec la règle graduée. Mais une droite est infinie et porte une infinité de points. Quand on demande « la distance d'un point à une droite », sur lequel de ces points faut-il mesurer ?

Imagine que tu es dans un champ, à côté d'une route toute droite. Tu veux rejoindre la route le plus vite possible. Tu peux viser un point de la route en face de toi, ou un point beaucoup plus loin. Tu sens bien que le trajet n'a pas la même longueur. Ce cours répond à cette question : comment trouver le trajet le plus court, et comment mesurer sa longueur.

Au programme de 6e, tu dois savoir tracer à l'équerre la perpendiculaire à une droite donnée passant par un point, puis trouver le plus court chemin entre un point et une droite.¹ Tu utiliseras aussi ce que tu sais du cercle, du triangle rectangle et des constructions aux instruments.

Une troisième idée nous servira : aller directement d'un point à un autre n'est jamais plus long que passer par un détour.³ Autrement dit, si tu vas de $A$ vers $C$ en passant par $B$, ton trajet ne sera pas plus court que le trajet direct de $A$ à $C$. C'est une règle de bon sens que tu vérifies avec une ficelle tendue.

Prenons un point $A$ qui n'est pas sur la droite $(d)$. Place sur $(d)$ plusieurs points $M_1$, $M_2$, $M_3$… et mesure $AM_1$, $AM_2$, $AM_3$… Tu obtiens des longueurs différentes. Une seule d'entre elles est plus petite que toutes les autres : c'est la distance de $A$ à $(d)$.

On peut aussi présenter la chose avec des mots de chemin : la distance d'un point à une droite est la longueur du plus court chemin pour aller du point à la droite.¹

Pourquoi la perpendiculaire ? Regarde le triangle $AHM$, où $M$ est un autre point de la droite $(d)$. Il a un angle droit en $H$. Le côté opposé à l'angle droit, $[AM]$, est le plus grand côté du triangle rectangle. Donc $AM$ est plus grand que $AH$. Cette idée vient du théorème de Pythagore, que l'on utilise pour établir ce résultat.² Tu l'étudieras en détail plus tard ; pour l'instant, tu peux la vérifier par la mesure.

Cette construction fonctionne que le point $A$ soit à gauche, à droite, au-dessus ou en dessous de la droite. Elle marche aussi quand la droite est penchée : ce n'est pas la feuille qu'on suit, c'est la droite $(d)$. Si la droite est inclinée, tourne ta feuille pour garder le côté de l'équerre bien appuyé sur $(d)$.

Le programme te propose des tâches variées autour de cette notion : trouver le plus court chemin, comparer des distances, colorier des points à moins d'une distance donnée d'un autre point.¹ Voici les réflexes à avoir.