Mathématiques · 6e
Distance d'un point à une droite : exercices de 6e
Publié le 10 novembre 2026 · Mis à jour le 10 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
- La distance d'un point A à une droite (d) est la plus petite longueur AM quand M se déplace sur (d).2
- Cette plus courte distance se mesure jusqu'au pied de la perpendiculaire à (d) passant par A : on la trace avec l'équerre.12
- Si A est sur la droite, sa distance à la droite vaut 0.2
- Tout autre point M de la droite est plus éloigné de A que le pied H de la perpendiculaire : AM est strictement plus grand que AH.2
- Pour un cercle de centre A, comparer le rayon et la distance de A à la droite permet de savoir si le cercle touche la droite.
Comment utiliser ces exercices
Tu as déjà travaillé sur le cercle, les triangles, les quadrilatères et les constructions aux instruments. Ces exercices s'appuient sur ces acquis pour t'entraîner à une seule idée : mesurer et comprendre la distance d'un point à une droite. Ils sont rangés par difficulté croissante. Les premiers demandent de lire une figure ou d'appliquer une règle. Les derniers t'obligent à raisonner et à justifier.
Prends une feuille, un crayon bien taillé, une règle graduée et une équerre. Cherche chaque exercice seul, d'abord sans indice. Un indice sert à te remettre sur la piste, pas à donner la réponse. Ouvre la correction à la fin seulement, puis compare chaque étape avec ton raisonnement, pas seulement le résultat.
Les exercices
Exercice 1 Lire une distance sur la feuille
Sur une feuille, la droite (d) est tracée horizontalement à 2 cm du bord inférieur. Le point A est placé sur un trait vertical du quadrillage, à 9 cm du bord inférieur, au-dessus de la droite. La perpendiculaire à (d) passant par A est donc verticale.
Quelle est la distance de A à la droite (d), en centimètres ?
Indice 1
La perpendiculaire à une droite horizontale est verticale : le segment cherché suit le trait vertical.
Indice 2
Les deux hauteurs sont mesurées depuis le même bord de la feuille.
Voir la correction pas à pas
La droite (d) est horizontale et la perpendiculaire passant par A est verticale : le segment [AH] est donc vertical, avec H sur (d).
Le point A est à 9 cm du bord, le point H est à 2 cm du bord, les deux sur la même verticale.
La longueur AH est la différence des hauteurs : 9 − 2 = 7 cm.
La distance de A à (d) est donc 7 cm.2
La distance est 7 cm. Quand la droite est horizontale, il suffit de comparer les hauteurs : la perpendiculaire est verticale.
Exercice 2 Tracer la perpendiculaire à l'équerre
Trace une droite (d) inclinée sur ta feuille, puis place un point A à environ 5 cm de cette droite, sans qu'il soit sur elle.
- Trace la perpendiculaire à (d) passant par A et nomme H son point d'intersection avec (d).
- Marque l'angle droit en H.
- Mesure la distance de A à (d).
- Place trois points M, N et P sur (d), différents de H, et mesure AM, AN et AP. Compare chaque longueur à AH.
Indice 1
Appuie l'un des côtés de l'angle droit de l'équerre sur (d), puis glisse-la jusqu'à A.
Indice 2
Pour comparer, écris les quatre longueurs dans un petit tableau.
Voir la correction pas à pas
Pose l'équerre avec un côté de l'angle droit sur (d), puis fais-la glisser le long de (d) jusqu'à ce que l'autre côté touche A.1
Trace le trait de A jusqu'à la droite (d) : le point d'arrivée est H. Dessine le petit carré qui code l'angle droit en H.
Mesure [AH] à la règle : ta valeur, proche de 5 cm, est la distance de A à (d).2
Mesure AM, AN et AP. Tu constates que chacune est plus grande que AH, même quand M, N ou P sont tout près de H.
Cela illustre le fait que la distance de A à (d) est la plus petite des longueurs AM quand M parcourt (d).2
Les trois segments obliques sont plus longs que [AH]. Le segment perpendiculaire donne bien la plus courte distance entre le point et la droite.
Exercice 3 Un point sur la droite
Le point K appartient à la droite (d). Quelle est la distance de K à (d), en centimètres ?
Indice 1
Pense au plus petit segment que tu peux tracer depuis K vers un point de (d).
Indice 2
Peut-on choisir M égal à K ?
Voir la correction pas à pas
La distance de K à (d) est la plus petite longueur KM quand M parcourt la droite.2
Comme K est lui-même sur (d), on peut choisir M = K, ce qui donne KM = 0 cm.
Une longueur ne peut pas être négative, donc 0 cm est la plus petite valeur possible.
La distance est 0 cm : un point qui est sur la droite en est à distance nulle.2 Réciproquement, un point à distance nulle d'une droite est sur cette droite.
Exercice 4 Comparer une oblique et la perpendiculaire
La droite (d) et le point A sont tels que la perpendiculaire à (d) passant par A coupe (d) en H, avec AH = 3,4 cm. Le point M est un autre point de (d) et on mesure AM = 5 cm.
- Le point M peut-il être le point H ? Justifie.
- De combien de centimètres le segment [AM] dépasse-t-il la distance de A à (d) ?
Indice 1
Compare AM et AH : laquelle de ces longueurs représente la distance de A à (d) ?
Indice 2
La différence s'obtient par une soustraction.
Voir la correction pas à pas
Si M était H, on aurait AM = AH = 3,4 cm. Or AM = 5 cm : M n'est donc pas le point H.
La distance de A à (d) est AH, car (AH) est perpendiculaire à (d).2
Le segment [AM] est oblique et plus long que [AH] : on le vérifie, 5 > 3,4.2
L'écart vaut 5 − 3,4 = 1,6 cm.
Le segment [AM] dépasse la distance de A à (d) de 1,6 cm. M n'est pas le pied de la perpendiculaire.
Exercice 5 Un point du cercle près de la droite
Le cercle (C) a pour centre A et pour rayon 3 cm. La distance de A à la droite (d) est 5 cm. On note H le pied de la perpendiculaire à (d) passant par A. Le point M est le point du cercle situé sur le segment [AH].
Quelle est la longueur HM, c'est-à-dire la distance de M à la droite (d), en centimètres ?
Indice 1
Que vaut AM, puisque M est sur le cercle de centre A ?
Indice 2
M est sur [AH] : AH se découpe en deux morceaux.
Voir la correction pas à pas
La distance de A à (d) est AH, donc AH = 5 cm.2
M est sur le cercle de centre A et de rayon 3 cm, donc AM = 3 cm.
M est sur le segment [AH] : AH = AM + MH.
On en déduit MH = 5 − 3 = 2 cm. Comme (MH) est portée par (AH), perpendiculaire à (d), MH est bien la distance de M à (d).
Le point M est à 2 cm de la droite. Sur ce schéma, le cercle ne touche pas la droite, puisque son point le plus proche de (d) en reste à 2 cm.
Exercice 6 Le chemin vers la route
Léa est dans un champ à 12 m d'une route parfaitement droite : c'est la distance mesurée selon la perpendiculaire à la route. Un sentier oblique la mène à la route en 15 m.
De combien de mètres Léa raccourcit-elle son trajet si elle choisit le plus court chemin pour rejoindre la route ?
Indice 1
Quel chemin est le plus court entre un point et une droite ?
Indice 2
Compare les longueurs des deux trajets.
Exercice 7 Le point le plus proche
Sur ta feuille, trace une droite (d). Place les points A, B et C de façon que A soit à 2 cm de (d), B à 4 cm de (d) et C à 6 cm de (d), tous du même côté de la droite.
- Explique comment tu places chaque point avec ton matériel.
- Classe A, B et C du plus proche au plus éloigné.
- Peut-on avoir AB = 2 cm ? Pourquoi ?
Indice 1
Pour placer un point à 4 cm de (d), trace d'abord une perpendiculaire à (d), puis reporte 4 cm dessus.
Indice 2
Pour la question 3, compare AB aux distances de A et de B à la droite.
Voir la correction pas à pas
Trace une perpendiculaire à (d) avec l'équerre, coupe-la en H, puis reporte 2 cm, 4 cm et 6 cm à la règle à partir de H le long de cette perpendiculaire : tu obtiens les points A, B et C.1
Les distances à (d) sont 2 cm, 4 cm et 6 cm : l'ordre du plus proche au plus éloigné est A, B, C.
Pour la question 3, on peut placer A et B sur la même perpendiculaire à (d), donc AB = 4 − 2 = 2 cm : c'est possible, si A et B sont alignés avec leur pied commun H.
Si A et B ne sont pas sur la même perpendiculaire, AB devient plus grand que 2 cm : la valeur 2 cm est donc la plus petite possible dans cette situation.
Les points se classent selon leur distance à la droite : A, B, C. La distance AB vaut 2 cm quand A et B sont sur la même perpendiculaire à (d).
Exercice 8 Aller-retour jusqu'à la rivière
Une tente est plantée à 180 m d'une rivière rectiligne, distance mesurée selon la perpendiculaire à la rivière. Mehdi va chercher de l'eau en prenant le plus court chemin pour rejoindre la rivière, puis revient à la tente par le même chemin. Il marche à 60 m par minute.
Combien de minutes dure son aller-retour ?
Indice 1
Quel est le plus court chemin entre la tente et la rivière ?
Indice 2
Combien de fois parcourt-il ce chemin ?
Voir la correction pas à pas
Le plus court chemin entre la tente et la rivière est le segment perpendiculaire à la rivière, de longueur 180 m.12
L'aller-retour représente deux fois ce trajet : 2 × 180 = 360 m.
À 60 m par minute, la durée est 360 ÷ 60 = 6 minutes.
L'aller-retour dure 6 minutes. Le calcul de durée ne dépend que de la distance du point à la droite, ici la longueur du trajet perpendiculaire.
Exercice 9 Cercle et droite : combien de points communs ?
Le cercle (C) a pour centre A et pour rayon 4 cm. On note h la distance de A à la droite (d).
- Dans le cas h = 4 cm, montre que le cercle et la droite ont un seul point commun.
- Dans le cas h = 5 cm, combien de points communs ont-ils ? Justifie.
- Dans le cas h = 3 cm, que peux-tu dire ? Appuie-toi sur le point H, pied de la perpendiculaire.
Indice 1
Un point M de (d) est sur le cercle quand AM = 4 cm.
Indice 2
Rappelle-toi que AM est supérieur ou égal à h pour tout point M de (d).
Voir la correction pas à pas
Pour tout point M de (d), la longueur AM est supérieure ou égale à AH = h, car h est la plus petite distance de A à un point de la droite.2
Cas h = 4 cm : le point H vérifie AH = 4 cm, donc H est sur le cercle. Tout autre point M de (d) est plus loin que H de A, donc AM > 4 cm : M n'est pas sur le cercle. Il y a un seul point commun, H.
Cas h = 5 cm : tous les points de (d) vérifient AM ≥ 5 cm, donc aucun n'est à 4 cm de A. Le cercle et la droite n'ont aucun point commun.
Cas h = 3 cm : le point H est à 3 cm de A, donc à l'intérieur du cercle. En s'éloignant de H sur la droite, de chaque côté, la longueur AM augmente et finit par valoir 4 cm : on obtient deux points communs, un de chaque côté de H.
Tout dépend de la comparaison entre le rayon et la distance de A à (d) : distance égale au rayon, un point commun ; distance plus grande, aucun ; distance plus petite, deux points communs.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si je dois mesurer la perpendiculaire ou un segment oblique ?
Dès qu'on te demande la distance d'un point à une droite, tu mesures le segment perpendiculaire à la droite, car c'est la plus petite longueur possible.2 Un segment oblique sert seulement à comparer, jamais à donner cette distance.
Pourquoi la distance d'un point de la droite à cette droite vaut-elle 0 ?
La distance est la plus petite longueur entre le point et un point de la droite. Si le point est déjà sur la droite, on peut l'associer à lui-même et la longueur est nulle.2
Que faire si l'équerre ne tient pas bien sur une droite courte ?
Prolonge la droite à la règle des deux côtés pour appuyer l'équerre confortablement, puis trace la perpendiculaire passant par le point.1 Le pied H peut se trouver sur le prolongement : la distance se mesure toujours jusqu'à la droite entière, pas seulement jusqu'au segment dessiné.
Sources
Programme visé : Programme officiel – Mathématiques 6e – Espace et géométrie · Éduscol
- Programme officiel – Mathématiques 6e – Espace et géométrie, Éduscol. Consulté le 10 novembre 2026.
- Distance d'un point à une droite, Wikipédia. Consulté le 10 novembre 2026.
- Distance (mathématiques), Wikipédia. Consulté le 10 novembre 2026.
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