Droites perpendiculaires et parallèles : cours de 6e

Autour de toi, des lignes se croisent ou restent à distance constante : les bords d'une feuille, les barreaux d'une échelle, les lignes d'un cahier, les rails d'une voie ferrée. Les mathématiciens ont donné un nom précis à ces deux situations : la perpendicularité et le parallélisme.

Ces deux notions sont liées. Dans ce cours, tu vas apprendre à les définir proprement, à les tracer avec l'équerre et la règle, puis à t'en servir pour raisonner : montrer qu'une figure a deux droites parallèles sans les mesurer, ou savoir qu'un angle est droit sans le vérifier.

Tu connais déjà les points, les droites et les segments. Rappelons simplement qu'une droite est illimitée : on la dessine avec un morceau, mais elle continue de chaque côté. Cela compte beaucoup ici : deux droites peuvent se couper en dehors de la feuille, même si on ne voit pas leur point commun sur le dessin.

Cette définition contient deux idées. D'abord, les droites doivent être sécantes : elles ont un point commun. Ensuite, l'angle qu'elles forment doit être droit. Dès qu'un des quatre angles est droit, les trois autres le sont aussi : c'est pour cela qu'on parle de quatre angles droits.

On écrit $(d) \perp (d')$ et on lit « la droite $(d)$ est perpendiculaire à la droite $(d')$ ». Sur un dessin, on marque l'angle droit avec un petit carré.

Ce point donné peut être sur la droite ou en dehors. Dans les deux cas, la perpendiculaire existe et il n'y en a pas d'autre. Donc, quand on te demande « la perpendiculaire à $(AB)$ passant par $C$ », il s'agit bien de la droite : si deux élèves la tracent correctement, ils obtiennent la même.

On écrit $(d) \parallel (d')$. Sur le plan, des droites parallèles gardent toujours le même écart : on ne les voit jamais se rapprocher, même en les prolongeant très loin.

Il y a une façon simple de se souvenir des deux situations possibles pour deux droites du plan : ou bien elles se coupent (elles sont sécantes, avec un unique point commun ⁵), ou bien elles ne se coupent pas (elles sont parallèles). Il n'y a pas de troisième cas. Autrement dit, deux droites qui ne sont pas parallèles sont forcément sécantes. ⁴

Cette propriété est très ancienne : c'est une reformulation d'un postulat d'Euclide. ⁵ Pour toi, retiens surtout sa conséquence pratique : quand on te demande « la parallèle à $(d)$ passant par $A$ », il n'en existe qu'une.

C'est le cœur du chapitre. Le programme de sixième demande de connaître les relations entre perpendicularité et parallélisme et de s'en servir pour raisonner. ³ Il y en a deux à connaître par cœur, et une troisième qui les complète.

Il existe aussi une version avec une perpendiculaire donnée au départ : si deux droites sont perpendiculaires, toute parallèle à l'une est perpendiculaire à l'autre. ⁴ C'est la même idée vue autrement : l'angle droit se « transporte » d'une droite à sa parallèle.

Enfin, deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles. ⁵

La perpendiculaire n'est pas seulement utile pour les angles : elle donne aussi le chemin le plus court. Imagine que tu es au point $C$ et que tu veux rejoindre une route rectiligne $(AB)$ en marchant le moins possible. Tu ne dois pas aller vers un point au hasard de la route : tu dois suivre la perpendiculaire.

Dans un exercice, la difficulté n'est pas de connaître les propriétés, mais de les repérer dans une figure chargée. Voici une démarche qui marche à chaque fois.

Ces notions servent à décrire l'espace. Les programmes de sixième rappellent que les connaissances géométriques permettent de modéliser des situations concrètes, comme le tracé sur une feuille, un quadrillage ou un écran d'ordinateur. ² Un quadrillage de cahier en est un bon exemple : les lignes horizontales sont parallèles entre elles, les lignes verticales aussi, et chaque ligne verticale est perpendiculaire à chaque ligne horizontale.

Ce chapitre prépare directement la suite : tu t'en serviras pour le cercle, pour les triangles (hauteurs, triangle rectangle) et pour les quadrilatères (rectangle, parallélogramme, losange). Plus tu maîtrises les liens entre perpendiculaires et parallèles maintenant, plus ces chapitres te paraîtront simples.