Droites perpendiculaires et parallèles : exercices de 6e

Phrase a : c'est la définition des droites parallèles, qui sont des droites non sécantes.² La phrase est vraie.

Phrase b : quand deux droites perpendiculaires se coupent, elles forment quatre angles droits, pas un seul.⁴ La phrase est fausse.

Phrase c : deux droites parallèles ne se coupent pas, donc deux droites qui se coupent ne sont pas parallèles.² La phrase est fausse.

Place un côté de l'angle droit de l'équerre sur $(d)$ et fais-la glisser jusqu'à ce que l'autre côté passe par $A$. Trace $(d_1)$ le long de ce côté.

Pose maintenant l'équerre sur $(d_1)$ et fais-la glisser jusqu'à $A$. Trace $(d_2)$ perpendiculaire à $(d_1)$ en $A$.

Les droites $(d)$ et $(d_2)$ sont toutes les deux perpendiculaires à $(d_1)$.

Or deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles.³ Donc $(d_2) \parallel (d)$.

Données : $(AB) \perp (EF)$ et $(CD) \perp (EF)$.

Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont donc toutes les deux perpendiculaires à la même droite $(EF)$.

Propriété : deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles.³

Conclusion : $(AB) \parallel (CD)$.

Données : $(d) \parallel (d')$ et $(e) \perp (d)$.

Propriété : si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.³ Donc $(e) \perp (d')$.

Les droites $(e)$ et $(d')$ sont perpendiculaires et se coupent en $K$ : elles forment quatre angles droits.⁴

Par un point qui n'est pas sur une droite, on ne peut faire passer qu'une seule droite parallèle à cette droite.⁵ Léo a donc tort.

Dans le plan, par un point donné, il passe une seule droite perpendiculaire à une droite donnée.⁴ La réponse à la question 2 est donc une.

Si les deux parallèles de Léo existaient, elles passeraient par le même point $M$ tout en étant différentes. Les deux seraient parallèles à $(d)$, ce qui contredit l'unicité de la parallèle passant par $M$.

Données : $(d_1) \parallel (d_2)$ et $(d_3) \parallel (d_2)$.

Propriété : deux droites parallèles à une même droite sont parallèles entre elles.⁵ Donc $(d_1) \parallel (d_3)$.

On a maintenant $(d_1) \parallel (d_3)$ et $(e) \perp (d_1)$.

Propriété : si deux droites sont parallèles, une perpendiculaire à l'une l'est à l'autre.³ Donc $(e) \perp (d_3)$.

Le plus court chemin d'un point à une droite suit la perpendiculaire à cette droite.³

Avec l'équerre, trace la perpendiculaire à $(AB)$ passant par $C$ ; elle coupe $(AB)$ en $H$, et $HC = 3$ cm.

On reporte la distance de $C$ à la droite sur cette perpendiculaire, de l'autre côté, pour placer $C'$.³ Donc $HC' = 3$ cm.

Comme $H$ est entre $C$ et $C'$ : $CC' = HC + HC' = 3 + 3 = 6$ cm.

Données : $(AB) \perp (AD)$ et $(DC) \perp (AD)$.

Les droites $(AB)$ et $(DC)$ sont toutes les deux perpendiculaires à $(AD)$. Or deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles.³ Donc $(AB) \parallel (DC)$.

On a maintenant $(AB) \parallel (DC)$ et $(BC) \perp (AB)$.

Or si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.³ Donc $(BC) \perp (DC)$.

Les deux phrases de Camille ne font apparaître aucune droite commune : rien ne dit qu'une même droite est perpendiculaire à la fois à $(d_1)$ et à $(d_3)$. La propriété sur les perpendiculaires à une même droite ne s'applique donc pas.³

Il faudrait par exemple que $(d_1)$ et $(d_3)$ soient perpendiculaires à la même droite $(d_2)$, c'est-à-dire que $(d_3) \perp (d_2)$.

Rédaction corrigée : « $(d_1) \perp (d_2)$ et $(d_3) \perp (d_2)$, or deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles, donc $(d_1) \parallel (d_3)$ ».³