Aire du disque : cours de 6e

Une pizza, une assiette, une piste de cirque, un bassin rond dans un jardin : autour de nous, beaucoup d'objets ont la forme d'un disque. Pour peindre le fond de la piste, couvrir le bassin avec une bâche ou comparer deux pizzas, on a besoin de connaître la quantité de surface qu'ils occupent, c'est-à-dire leur aire.

Tu sais déjà calculer l'aire d'un rectangle et celle d'un triangle. Ces figures ont des côtés droits, ce qui permet de les paver avec des carrés. Le disque, lui, a un bord courbe : impossible de le recouvrir exactement avec des carrés entiers. Il faut donc une formule spéciale, et surtout une idée pour la comprendre.

Dans ce cours, tu vas :

• revoir ce qu'est un disque et nommer ses éléments ;
• découvrir la formule de l'aire et comprendre d'où elle vient ;
• apprendre à l'utiliser sans te tromper entre rayon et diamètre ;
• calculer l'aire de figures plus riches, où un disque est combiné avec d'autres formes.

Il ne faut pas confondre les deux mots. Le cercle est une ligne : on peut en mesurer la longueur, par exemple avec une ficelle. Le disque est une surface : on en mesure l'aire, par exemple en cherchant combien de carrés il faudrait pour le recouvrir.

Dans une phrase, cela donne : « je tends une ficelle le long du cercle » (longueur), mais « je peins l'intérieur du disque » (aire).

Regarde bien l'écriture $r^2$ : elle se lit « r au carré » et signifie $r \times r$. Elle ne veut pas dire $r \times 2$. Par exemple, pour $r = 5$ :

• $r^2 = 5 \times 5 = 25$ ;
• et non $5 \times 2 = 10$.

Cette confusion est la plus fréquente de ce chapitre, nous y reviendrons.

Une formule se retient bien mieux quand on sait d'où elle vient. L'idée utilisée en classe est de transformer le disque en une figure que tu sais mesurer, un rectangle, sans changer son aire.

On découpe le disque en secteurs identiques, comme les parts d'un gâteau. Dans une activité proposée aux élèves de 6e, on part d'un disque partagé en 20 secteurs égaux ³. Ces parts sont ensuite rangées côte à côte, tête-bêche : la figure obtenue ressemble à un rectangle et elle a la même aire que le disque de départ ³.

Le rangement n'est pas parfait : le haut et le bas de la figure sont des petits arcs de cercle, pas des segments droits. Mais si on partage le disque en 40 secteurs au lieu de 20, la nouvelle figure ressemble encore davantage à un rectangle ³. Plus on coupe en parts fines, plus l'écart entre la figure et un rectangle devient petit ⁴.

Puisque le rayon est multiplié par lui-même, l'aire ne grandit pas au même rythme que le rayon. Compare trois disques avec $\pi \approx 3{,}14$ :

Quand le rayon passe de 2 cm à 4 cm, il est doublé, mais l'aire est multipliée par 4 : 12,56 cm² devient 50,24 cm². Quand il passe de 2 cm à 6 cm, il est triplé et l'aire est multipliée par 9.

La raison est simple : avec un rayon $2r$, on calcule $\pi \times 2r \times 2r = 4 \times \pi \times r \times r$. Doubler le rayon quadruple donc l'aire.

Souvent, le disque n'est qu'une partie de la figure. Pour trouver l'aire d'une zone colorée, on calcule les aires des figures simples, puis on les ajoute ou on les soustrait.

L'aire du disque a longtemps intrigué les mathématiciens. Un problème célèbre, la quadrature du cercle, consiste à construire à la règle et au compas un carré dont l'aire est la même que celle d'un disque donné. Ce problème a traversé les siècles, depuis Anaxagore au Ve siècle avant J.-C. jusqu'en 1882, année où Ferdinand von Lindemann a démontré que π est un nombre dit transcendant, ce qui rend cette construction impossible ⁴.