Pour trouver le diamètre à partir de la longueur, on divise par π.
Mesurer le tour d'un cercle
Tu connais déjà le périmètre d'un polygone : on additionne les longueurs de ses côtés. Pour un carré de 4 cm de côté, on trouve 16 cm. Mais un cercle n'a aucun côté droit, donc cette méthode ne marche plus. Comment savoir de quelle longueur de ficelle on a besoin pour entourer une table ronde, un bassin ou une roue ?
Dans ce cours, tu vas découvrir qu'il existe un lien simple entre le tour d'un cercle et sa largeur. Ce lien permet de calculer la longueur sans jamais la mesurer avec une ficelle.
Une fiche pédagogique de l'académie de La Réunion propose une image parlante : on dispose d'une corde de 15 m et on s'en sert pour former un cercle. Le tour de ce cercle, c'est la longueur de la corde.4 Cette image va nous guider tout au long du chapitre.
Rayon et diamètre : le vocabulaire à maîtriser
Longueur, périmètre, circonférence : trois mots, une même idée
Le périmètre d'un polygone est la longueur de son contour. Pour le cercle, c'est pareil : on imagine qu'on le découpe, qu'on l'étire en ligne droite, puis qu'on mesure le segment obtenu. C'est exactement ce que fait la ficelle de l'activité de la section suivante.
Les programmes du cycle 3 demandent justement de calculer la longueur d'un cercle, puis le périmètre de figures dont le contour contient des parties circulaires.12
Découvrir le lien entre le tour et le diamètre
La fiche de l'académie de La Réunion propose une expérience que tu peux refaire chez toi.4 Voici le déroulé.
Trace des cercles de diamètres différents : 2 cm, 3 cm, 4 cm, 5 cm, 6 cm, 7 cm, puis 8 cm.4
Entoure chaque cercle avec une ficelle ou une bande de papier, puis mesure la longueur de ficelle utilisée.4
Pour chaque cercle, compare la longueur obtenue au diamètre.
En divisant, pour chaque cercle, la longueur mesurée par son diamètre, tu trouves à chaque fois un nombre un peu supérieur à 3. L'expérience donne donc : le périmètre est environ trois fois et un petit peu le diamètre. Ce nombre est toujours le même, quelle que soit la taille du cercle. La fiche le résume ainsi : périmètre du cercle = diamètre × 3,14.4
Diamètre et longueur du cercle (avec 3,14)
Diamètre (cm)
Longueur du cercle (cm)
2
6,28
3
9,42
4
12,56
5
15,7
6
18,84
7
21,98
8
25,12
Diamètre et longueur du cercle (avec 3,14) · Chaque longueur est le diamètre multiplié par 3,14.
Le nombre pi et la formule de la longueur
Méthode : calculer la longueur d'un cercle
RepérerRayon ou diamètre ?
Doubler si besoind = 2 × r
Écrire la formuleP = π × d
CalculerRemplacer π par 3,14
ConclurePhrase réponse avec l'unité
Calculer la longueur d'un cercle
Calculer à l'envers : retrouver le diamètre ou le rayon
Parfois, on connaît la longueur du cercle et on cherche son diamètre. Comme P=π×d, le diamètre est le nombre qu'on multiplie par π pour obtenir P. On le retrouve donc par une division :
d=P÷πpuisr=d÷2
Demi-cercle et figures composées
Attention : la longueur du demi-cercle ne comprend que la partie courbe. Si une figure est un demi-disque, son contour contient aussi le diamètre qui ferme la figure. Il faut donc l'ajouter.
Les erreurs fréquentes à éviter
Exercices corrigés
Exercice 1 Le bord d'un cadran
★☆☆Environ 5 min
Un cadran d'horloge est un cercle de diamètre 10 cm. Calcule la longueur de son bord. Prends π=3,14.
Indice 1
Ici, l'énoncé donne le diamètre : tu peux utiliser directement la formule.
Indice 2
Multiplie le diamètre par 3,14.
Voir la correction pas à pas
On repère que la donnée est un diamètre : d=10 cm.
On écrit la formule : P=π×d.
On remplace : P=3,14×10=31,4.
On rédige : le bord du cadran mesure environ 31,4 cm.
Quand l'énoncé donne le diamètre, un seul calcul suffit. Le résultat dépasse bien 3×10=30 cm.
Exercice 2 Le tour d'une fontaine
★☆☆Environ 6 min
Une fontaine circulaire a un rayon de 4 m. Quelle longueur de pierre faut-il pour border son contour ? Prends π=3,14.
Indice 1
Calcule d'abord le diamètre.
Indice 2
Tu peux aussi utiliser 2×π×r.
Voir la correction pas à pas
La donnée est un rayon : r=4 m.
On calcule le diamètre : d=2×4=8 m.
On applique la formule : P=3,14×8=25,12.
On rédige : il faut environ 25,12 m de pierre.
Le contrôle : 3×8=24, et 25,12 est un peu supérieur, donc le résultat est cohérent.
Exercice 3 Le diamètre d'une roue de vélo
★★☆Environ 8 min
Une roue de vélo fait un tour complet en parcourant 188,4 cm. Quel est son diamètre ? Prends π=3,14.
Indice 1
La longueur de 188,4 cm est le périmètre de la roue.
Indice 2
Pour retrouver le diamètre, divise le périmètre par 3,14.
Voir la correction pas à pas
Le chemin parcouru en un tour est le périmètre de la roue : P=188,4 cm.
On sait que P=π×d, donc d=P÷π.
On calcule : d=188,4÷3,14=60.
On vérifie : 3,14×60=188,4.
On rédige : le diamètre de la roue est 60 cm.
Une division suffit pour remonter du périmètre au diamètre, et la vérification par la multiplication confirme le résultat.
Exercice 4 La largeur d'une allée circulaire
★★★Environ 12 min
Autour d'une pièce d'eau ronde, on aménage un chemin de gravier. Le tour intérieur du chemin, côté eau, mesure 31,4 m. Son tour extérieur mesure 43,96 m. Quelle est la largeur du chemin ? Prends π=3,14.
Indice 1
Pour chaque tour, retrouve d'abord le diamètre, puis le rayon.
Indice 2
La largeur du chemin est l'écart entre le grand rayon et le petit rayon.
Voir la correction pas à pas
Diamètre intérieur : 31,4÷3,14=10 m, donc rayon intérieur 10÷2=5 m.
Diamètre extérieur : 43,96÷3,14=14 m, donc rayon extérieur 14÷2=7 m.
Largeur du chemin : 7−5=2 m.
On rédige : le chemin de gravier mesure 2 m de large.
Autre méthode : l'écart entre les deux longueurs est 43,96−31,4=12,56 m, et 12,56÷(2×3,14)=2 m.
Quiz
8 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
La longueur du cercle est son périmètre, et le mot circonférence désigne cette même longueur.4 L'aire mesure la surface du disque, pas le tour. Le rayon et le diamètre sont des segments qui traversent ou rejoignent le centre.
Le diamètre est le double du rayon : 2×6=12 cm.4 Diviser par 2 donnerait 3 cm, ce qui revient à confondre le sens du passage. La valeur 18,84 cm est une longueur de cercle, pas un diamètre.
La longueur d'un cercle de rayon r est 2×π×r.5 La formule π×r ne donne que la longueur d'un demi-cercle.6 Le produit π×r×r n'est pas une longueur, et 2×r est seulement le diamètre.
On applique P=π×d=3,14×20=62,8 cm.4 Si tu as trouvé 31,4 cm, tu as calculé avec un diamètre de 10 cm, c'est-à-dire avec le rayon.
C'est vrai : comme P=π×d, un diamètre multiplié par 2 donne une longueur multipliée par 2.4 Penser que la longueur serait multipliée par 4 revient à la confondre avec une aire, ce qui est faux.
Le diamètre vaut 7 cm, donc P=3,14×7=21,98 cm.4 Le résultat 10,99 cm vient d'un oubli : on a multiplié le rayon par pi sans le doubler. Le résultat 10,5 cm cumule deux erreurs : on a pris 3 au lieu de 3,14 et oublié de doubler le rayon. Enfin, 38,47 cm correspond à une formule d'aire.
Un demi-cercle de rayon r mesure π×r.6 Ici 3,14×10=31,4 cm. La valeur 62,8 cm est la longueur du cercle entier, et 15,7 cm correspond à un demi-cercle de rayon 5 cm.
On retrouve le diamètre par une division : 94,2÷3,14=30 cm, car P=π×d.4 Si tu as trouvé 15 cm, tu as calculé le rayon : tu as divisé par 2 alors que la question demandait le diamètre.
Les questions qu'on se pose
Pourquoi utilise-t-on 3,14 et pas la valeur exacte de pi ?
Le nombre π a beaucoup plus de chiffres après la virgule que ce que l'on peut écrire, donc on en prend une valeur arrondie.4 En 6e, 3,14 suffit. Ton résultat est alors une valeur approchée, proche de la vraie longueur.
Dois-je utiliser le rayon ou le diamètre ?
Les deux marchent. Avec le diamètre : P=π×d. Avec le rayon : P=2×π×r.45 Si tu hésites, calcule d'abord le diamètre, puisque le diamètre est le double du rayon, puis utilise la première formule.
Comment vérifier que mon résultat est plausible ?
La longueur d'un cercle est un peu plus grande que trois fois son diamètre, comme le montre l'expérience de la ficelle.4 Pour un diamètre de 10 cm, tu dois trouver un peu plus de 30 cm. Un résultat plus petit que 30 cm est forcément faux.
Le périmètre d'un demi-disque est-il égal à la longueur d'un demi-cercle ?
Non. La longueur du demi-cercle est seulement la partie courbe, égale à π×r.6 Le périmètre du demi-disque comprend en plus le diamètre qui ferme la figure : il faut ajouter 2×r.
Quelle unité écrire pour la longueur d'un cercle ?
Une unité de longueur, la même que celle du rayon ou du diamètre : cm, m, km. Une unité au carré comme cm² sert pour les aires, pas pour le tour d'un cercle.