Comparer et ranger des décimaux : cours de 6e

Tu compares des nombres décimaux tout le temps : des prix, des durées de course, des longueurs, des masses. Qui a sauté le plus loin, 4,2 m ou 4,19 m ? Quel colis est le plus léger, 2,5 kg ou 2,05 kg ? Pour répondre sans te tromper, tu as besoin d'une méthode sûre.

Le programme de 6e demande de savoir comparer, encadrer, intercaler et ordonner des nombres décimaux, en utilisant les symboles =, < et > ¹. Il demande aussi de justifier les procédures en s'appuyant sur la signification de l'écriture du nombre ³. Autrement dit, il ne suffit pas d'avoir une astuce : tu dois savoir pourquoi elle marche.

Dans ce cours, tu vas voir :

• ce que signifie chaque chiffre d'un nombre décimal ;
• la méthode pour comparer deux nombres ;
• l'erreur la plus fréquente, et comment l'éviter ;
• comment ranger une liste entière de nombres ;
• comment encadrer et intercaler un nombre.

Un nombre décimal s'écrit avec une virgule. À gauche de la virgule se trouve la partie entière ; à droite, la partie décimale. Chaque chiffre a une valeur qui dépend de sa place. C'est cette signification de l'écriture qui permet ensuite de comparer ³.

Avant de comparer, il faut être sûr d'une chose : écrire des zéros à droite, après la dernière décimale, ne change pas la valeur du nombre.

Pourquoi ? Parce que 5 dixièmes et 50 centièmes représentent la même quantité. Imagine une tablette de chocolat coupée en 10 bandes : prendre 5 bandes, c'est prendre la même part que si on la coupait en 100 petits carrés et qu'on en prenait 50.

Les ressources officielles décrivent la procédure ainsi : on compare d'abord les parties entières, puis, si elles sont les mêmes, on compare les parties décimales ⁴. Voici la méthode complète, chiffre par chiffre.

Pourquoi est-ce faux ? Parce que chaque chiffre après la virgule vaut selon sa place : la partie décimale ne se lit pas comme un entier. Dans $3{,}15$, le $1$ est un dixième, le $5$ un centième : on a $\frac{1}{10}+\frac{5}{100}=\frac{15}{100}$. Dans $3{,}4$, on a $\frac{4}{10}=\frac{40}{100}$. Or $\frac{40}{100} > \frac{15}{100}$.

Il existe une erreur voisine : croire que « plus il y a de chiffres, plus le nombre est grand ». Elle vient de ce qui est vrai pour les entiers (123 est plus grand que 45), mais ça ne marche plus avec la virgule : $0{,}5 > 0{,}499$ alors que 499 a plus de chiffres.

Une astuce pour ne pas confondre < et > : la pointe du symbole est tournée vers le plus petit nombre. Dans $2{,}05 < 2{,}5$, la pointe regarde $2{,}05$, le plus petit.

On peut aussi enchaîner : $0{,}25 < 0{,}3 < 0{,}31$ se lit « 0,25 est plus petit que 0,3, qui est plus petit que 0,31 ».

Au collège, on te demandera souvent d'expliquer. Une bonne justification s'appuie sur la signification des chiffres ³ et non sur une règle apprise par cœur sans comprendre.