Comparer et ranger des décimaux : exercices corrigés de 6e

a) Les parties entières sont égales (3). Les dixièmes : 8 contre 5, donc $3{,}8 > 3{,}5$.

b) Les parties entières sont égales (12). Les dixièmes : 0 contre 6, donc $12{,}06 < 12{,}6$.

c) Écrire $0{,}9$ sous la forme $0{,}90$ ne change pas sa valeur : 9 dixièmes valent 90 centièmes. Donc $0{,}9 = 0{,}90$.

d) Les parties entières sont égales (5). Les dixièmes : 4 contre 3, donc $5{,}4 > 5{,}38$. On n'a pas besoin de regarder les centièmes.

$6{,}99$ a pour partie entière 6, les autres ont 7 : on l'écarte.

On écrit les trois autres avec deux décimales : $7{,}20$ ; $7{,}19$ ; $7{,}02$.

Les dixièmes : 2, 1 et 0. Le plus grand chiffre des dixièmes est 2, donc le plus grand nombre est $7{,}2$.

$0{,}25$ a pour partie entière 0 : c'est le plus petit.

On écrit les quatre autres avec trois décimales : $2{,}500$ ; $2{,}050$ ; $2{,}550$ ; $2{,}505$.

Les dixièmes : $2{,}050$ a 0 dixième, c'est donc le plus petit des quatre. Les trois autres ont 5 dixièmes.

On compare les centièmes : $2{,}500$ a 0, $2{,}505$ a 0, $2{,}550$ a 5. Donc $2{,}550$ est le plus grand des trois.

Entre $2{,}500$ et $2{,}505$, les millièmes départagent : 0 contre 5.

Ordre croissant : $0{,}25 < 2{,}05 < 2{,}5 < 2{,}505 < 2{,}55$.

$8{,}31$ a pour partie entière 8, contre 18 pour les autres : c'est le plus petit.

On écrit les quatre autres avec trois décimales : $18{,}300$ ; $18{,}290$ ; $18{,}309$ ; $18{,}030$.

Les dixièmes : 3, 2, 3 et 0. Le plus petit est $18{,}030$ (0 dixième) ; puis vient $18{,}290$ (2 dixièmes).

Il reste $18{,}300$ et $18{,}309$ avec 3 dixièmes chacun. Mêmes centièmes (0). Les millièmes : 9 contre 0, donc $18{,}309 > 18{,}300$.

Ordre décroissant : $18{,}309 > 18{,}3 > 18{,}29 > 18{,}03 > 8{,}31$.

a) La partie entière de $6{,}47$ est 6, et le nombre n'est pas entier : il est donc entre 6 et 7, soit $6 < 6{,}47 < 7$.

b) Le chiffre des dixièmes est 4, donc $6{,}47$ est au-dessus de $6{,}4$. Le dixième suivant est $6{,}5$.

On vérifie : $6{,}4 = 6{,}40 < 6{,}47 < 6{,}50 = 6{,}5$. L'encadrement est $6{,}4 < 6{,}47 < 6{,}5$.

a) $3{,}4 = 3{,}40$ et $3{,}5 = 3{,}50$. Le nombre $3{,}45$ convient : $3{,}40 < 3{,}45 < 3{,}50$. D'autres réponses sont possibles, comme $3{,}42$ ou $3{,}49$.

b) $3{,}41 = 3{,}410$ et $3{,}42 = 3{,}420$. Le nombre $3{,}415$ convient : $3{,}410 < 3{,}415 < 3{,}420$.

c) Oui : en ajoutant une décimale, on obtient un nombre entre les deux. Entre deux nombres décimaux différents, il y a toujours un autre décimal, donc même deux décimaux très proches laissent la place à d'autres nombres.

Le plus rapide a le plus petit temps : on range donc les durées par ordre croissant.

On écrit tous les temps avec deux décimales : $14{,}80$ ; $14{,}08$ ; $14{,}18$ ; $14{,}80$.

Les dixièmes : Samir a 0, Inès a 1, Léa et Hugo ont 8. Donc $14{,}08 < 14{,}18 < 14{,}80$.

$14{,}8 = 14{,}80$ : Léa et Hugo ont le même temps, ils sont ex æquo.

a) Classement : 1er Samir, 2e Inès, 3e Léa et Hugo ex æquo.

b) Le meilleur temps est celui de Samir : $14{,}08$ s.

a) $\frac{7}{10} = \frac{70}{100}$. Les deux fractions ont maintenant le même dénominateur : on compare les numérateurs, 70 et 65. Donc $\frac{7}{10} > \frac{65}{100}$.

b) $\frac{7}{10} = 0{,}7 = 0{,}70$ et $\frac{65}{100} = 0{,}65$. Les dixièmes : 7 contre 6, donc $0{,}70 > 0{,}65$. La comparaison est la même.

c) $\frac{3}{10} = \frac{30}{100}$, et 30 est supérieur à 28. Donc $\frac{3}{10} > \frac{28}{100}$, ce qui s'écrit aussi $0{,}3 > 0{,}28$.

Le nombre s'écrit $5{,}4\square$ et on le compare à $5{,}43$ : les parties entières (5) et les dixièmes (4) sont égaux.

Tout dépend alors des centièmes : le chiffre caché doit être strictement plus petit que 3.

Les chiffres possibles sont 0, 1 et 2, ce qui donne $5{,}40$, $5{,}41$ et $5{,}42$.

Le chiffre 3 donne $5{,}43$, qui est égal à $5{,}43$ et non plus petit : il est exclu. Les chiffres de 4 à 9 donnent des nombres plus grands.

Il y a donc 3 chiffres possibles.

a) Avec deux décimales : $4{,}60$ ; $4{,}06$ ; $4{,}16$ ; $4{,}61$. Les dixièmes : 6, 0, 1, 6. On range d'abord $4{,}06$ puis $4{,}16$.

Entre $4{,}60$ et $4{,}61$, les centièmes départagent : 0 contre 1. Ordre croissant : $4{,}06 < 4{,}16 < 4{,}6 < 4{,}61$.

b) Les deux plus grands sont $4{,}6$ et $4{,}61$. Il n'existe aucun décimal à deux chiffres après la virgule strictement compris entre $4{,}60$ et $4{,}61$ : il faut une troisième décimale, par exemple $4{,}605$.

On vérifie : $4{,}600 < 4{,}605 < 4{,}610$.

c) $4{,}16$ a 1 dixième, alors que $4{,}6$ en a 6 : les dixièmes décident avant les centièmes, donc $4{,}16 < 4{,}6$.