Les nombres décimaux : cours de 6e

Avec les nombres entiers, tu sais compter des objets : 3 stylos, 12 élèves, 250 pages. Mais que faire quand une mesure tombe « entre » deux entiers ? Une longueur de 3 cm et quelques millimètres, un prix de 3 euros et 25 centimes, une masse un peu inférieure à 2 kg : les entiers ne suffisent plus.

C'est pour cela qu'on utilise les nombres décimaux. Ils se construisent à la fois dans la continuité des entiers (on garde le même système d'écriture) et en rupture avec eux (certaines habitudes ne marchent plus). ³ Dans ce cours, tu vas voir comment lire, écrire et comprendre ces nombres, puis comment calculer simplement avec eux.

Dans la vie courante, tu en rencontres tout le temps. On dit par exemple « trois euros vingt-cinq » comme si c'étaient deux nombres entiers collés l'un à l'autre. ³ Cette façon de parler est pratique, mais elle cache la vraie nature du nombre : 3,25 est un seul nombre, pas deux entiers séparés par une virgule. ³

Dans l'écriture d'un nombre, chaque chiffre vaut plus ou moins selon sa place, c'est-à-dire son rang. ¹ À gauche de la virgule, tu retrouves les rangs que tu connais : unités, dizaines, centaines, milliers… À droite de la virgule, il y a de nouveaux rangs : les dixièmes, puis les centièmes, puis les millièmes. ⁵

En 6e, tu travailles avec des nombres décimaux ayant au plus quatre décimales. ⁵ Une « décimale » est un chiffre placé après la virgule.

Les fractions décimales sont le lien direct entre les fractions et l'écriture à virgule. Chaque rang après la virgule correspond à un dénominateur : les dixièmes au dénominateur 10, les centièmes au dénominateur 100, les millièmes au dénominateur 1 000.

Un même nombre peut donc s'écrire de plusieurs façons :

Pour passer de la fraction à l'écriture à virgule, tu comptes les zéros du dénominateur : il y a autant de chiffres après la virgule que de zéros.

Les décimaux prolongent les entiers sur certains points et s'en écartent sur d'autres. ³ Voici le détail.

Ce qui reste vrai (continuité)

• On écrit toujours avec les dix chiffres, de 0 à 9.
• La valeur d'un chiffre dépend toujours de sa position.
• Chaque rang vaut 10 fois le rang situé à sa droite.

Ce qui change (rupture)

• Un nombre n'a plus de « suivant » évident. Après 3, l'entier suivant est 4, mais après 3,4 on ne peut pas dire quel est le décimal suivant : il y a 3,41, mais aussi 3,401, 3,4001…
• Un nombre plus long n'est pas forcément plus grand. 2,5 est plus grand que 2,347 même si 2,347 a plus de chiffres.
• On ne peut pas dire « 3,25 est entre 3 et 25 » : il est entre les entiers 3 et 4.

Entre deux nombres entiers consécutifs, il n'y a aucun autre entier. Entre deux nombres décimaux, c'est très différent : on peut toujours en trouver un autre, et même une infinité. ⁴

Pour s'en convaincre, on utilise l'image d'une loupe. On prend un petit morceau de la droite graduée et on le grossit : chaque unité se découpe en 10 dixièmes, chaque dixième en 10 centièmes, et ainsi de suite. ⁴

Les décimaux se placent aussi sur une demi-droite graduée. ³ Pour placer 2,6, tu divises l'intervalle entre 2 et 3 en dix parts égales (chaque part vaut un dixième) et tu comptes six parts à partir de 2. Pour placer 2,63, tu zoomes sur l'intervalle entre 2,6 et 2,7 et tu le divises à nouveau en dix. Tu approfondiras ce repérage dans le chapitre suivant.

Au programme de 6e, tu apprends à additionner et soustraire deux nombres décimaux, à multiplier un décimal par un entier et à diviser un décimal par un entier. ⁶ Tu apprends aussi à multiplier et diviser rapidement par 10, 100 ou 1 000. ⁶

Deux autres cas utiles : multiplier par 0,1 revient à diviser par 10, et multiplier par 0,5 revient à prendre la moitié. ⁵ Ainsi $60 \times 0{,}5 = 30$ et $42 \times 0{,}1 = 4{,}2$.

Enfin, la division d'un décimal par un entier non nul se pose comme une division euclidienne que tu continues après la virgule. Elle est liée à la multiplication : pour un décimal $a$ et un entier $b$ non nul, $(a \div b) \times b = a$. ¹