Les échelles : cours de 6e

Tu ne peux pas dessiner la cour de ton collège en grandeur réelle sur une feuille. Tu ne peux pas non plus poser une ville entière sur ton bureau. Pour représenter un lieu trop grand, on le réduit : on obtient un plan ou une carte. À l'inverse, pour montrer un objet minuscule, on peut l'agrandir.

Dans tous les cas, la réduction (ou l'agrandissement) doit se faire de la même façon partout. Si une rue mesure deux fois plus qu'une autre dans la réalité, elle doit aussi mesurer deux fois plus sur le plan. C'est exactement ce qui définit une situation de proportionnalité, que tu as déjà rencontrée avec les tableaux et les procédures de calcul ².

En 6e, les problèmes d'échelles font partie du domaine de la proportionnalité, étudié au cycle 3 ². Tu n'as donc aucune formule nouvelle à apprendre par cœur : tu réutilises ce que tu sais déjà sur les tableaux de proportionnalité, le passage à l'unité et le produit en croix.

Prends une carte de randonnée sur laquelle est écrit 1/50 000. Cette écriture dit une seule chose : une longueur de 1 sur la carte correspond à une longueur de 50 000 dans la réalité, avec la même unité des deux côtés. C'est un problème d'échelle, donc de proportionnalité ².

Ainsi, 1 cm sur la carte représente 50 000 cm dans la réalité. Comme 50 000 cm, c'est difficile à imaginer, on convertit :

$50\,000 \text{ cm} = 500 \text{ m}$

Donc 1 cm sur la carte représente 500 m sur le terrain.

C'est le cas le plus fréquent : tu mesures avec ta règle un trajet sur la carte et tu veux savoir combien de kilomètres cela fait sur le terrain.

Puisque la situation est proportionnelle ², tu peux construire un tableau. Pour une échelle $1/n$ :

Le coefficient de proportionnalité est $n$ : on le retrouve en passant de la première ligne à la seconde.

Cette fois, tu connais la distance réelle et tu cherches combien elle mesure sur le plan ou sur la carte. C'est le chemin inverse : au lieu de multiplier par $n$, tu divises par $n$. Ce type de problème fait partie de la résolution de problèmes d'échelles du cycle 3 ².

Le raisonnement est le même que précédemment, mais tu lis le tableau de proportionnalité dans l'autre sens :

Parfois l'échelle n'est pas écrite. On te donne alors une longueur sur le plan et la longueur réelle qui lui correspond, et tu dois retrouver $n$ : c'est encore un problème d'échelle, donc de proportionnalité ².

Comme l'échelle est le rapport entre ces deux longueurs, il faut les exprimer dans la même unité, puis diviser la longueur réelle par la longueur du plan.

Comparer deux cartes. Imagine deux cartes de la même région, l'une au $1/25\,000$ et l'autre au $1/250\,000$. Sur la première, 1 cm représente 250 m ; sur la seconde, 1 cm représente 2,5 km. La première carte montre donc un territoire plus petit, mais avec plus de détails : on y voit les sentiers, les bâtiments isolés. La seconde couvre une région plus vaste, mais elle ne montre que les grands axes.

Règle pratique : plus le nombre sous la barre est petit, plus la carte est détaillée.

Que l'on cherche une distance réelle, une longueur de plan ou l'échelle elle-même, la démarche est toujours la même : on repère les deux grandeurs proportionnelles, on les met dans la même unité, puis on utilise le tableau ou le produit en croix. C'est la résolution de problèmes d'échelles, qui s'appuie sur la proportionnalité ².