La direction et la géométrie : exercices corrigés, Bac pro MV

Le virage va à gauche : la roue avant gauche est l'intérieure, la droite est l'extérieure.

La roue intérieure s'inscrit dans le cercle de plus petit rayon, la roue extérieure dans le plus grand ².

Les axes de toutes les roues doivent former des rayons de cercles partageant un même centre ².

Les roues arrière ne pivotent pas : le centre commun est donc forcé de se trouver sur le prolongement de l'essieu arrière ².

Pour que les axes des roues avant passent aussi par ce point, la roue intérieure doit braquer plus que l'extérieure ².

Sans cette condition, les pneus devraient glisser de côté pour suivre la courbe : c'est justement ce que cherche à éviter la géométrie d'Ackermann ².

Alésage : maxi $20 + 0{,}021 = 20{,}021$ mm ; mini $20 + 0 = 20{,}000$ mm.

Axe : maxi $20 - 0{,}020 = 19{,}980$ mm ; mini $20 - 0{,}041 = 19{,}959$ mm.

Le jeu est la différence entre le diamètre de l'alésage et celui de l'axe. Il est maximal quand l'alésage est le plus grand et l'axe le plus petit : $20{,}021 - 19{,}959 = 0{,}062$ mm.

Il est minimal avec l'alésage le plus petit et l'axe le plus grand : $20{,}000 - 19{,}980 = 0{,}020$ mm.

Le jeu minimal est positif : l'axe rentre toujours librement dans l'alésage, quelles que soient les pièces tirées au hasard.

Une direction peut utiliser un ensemble crémaillère et pignon pour relier le volant aux pivots de roues ².

Déplacement pour un tour de pignon : $\pi \times 28 \approx 87{,}96$ mm.

Pour 3 tours : $3 \times \pi \times 28 \approx 263{,}89$ mm.

Contrôle : le résultat est bien égal à trois fois le déplacement pour un tour (3 × 87,96 ≈ 263,89 mm). Sur une vraie voiture, le pignon est plus petit et la course est souvent plus courte.

Le centre du virage se trouve sur la ligne de l'essieu arrière prolongé, et les axes des roues avant passent par ce point ².

Distance de la roue arrière intérieure au centre : $R - \dfrac{e}{2} = 6 - 0{,}75 = 5{,}25$ m.

La roue avant intérieure est située à $L = 2{,}6$ m en avant de la roue arrière. Son axe est la droite qui la relie au centre : il forme avec la direction « tout droit » l'angle $\delta_i$ tel que $\tan \delta_i = \dfrac{2{,}6}{5{,}25} \approx 0{,}4952$.

On passe à l'angle : $\delta_i = \arctan(0{,}4952) \approx 26{,}35^\circ$.

Contrôle : un angle de braquage proche de 26° pour un virage de 6 m de rayon est cohérent avec un virage serré.

Distance de la roue arrière extérieure au centre : $R + \dfrac{e}{2} = 6 + 0{,}75 = 6{,}75$ m.

$\tan \delta_e = \dfrac{2{,}6}{6{,}75} \approx 0{,}3852$, donc $\delta_e \approx 21{,}07^\circ$.

Angle intérieur calculé à l'exercice précédent : $\delta_i \approx 26{,}35^\circ$.

Écart : $26{,}35 - 21{,}07 \approx 5{,}28^\circ$. On le calcule plus proprement avec les valeurs non arrondies, ce qui donne bien environ 5,28°.

Le sens du résultat est conforme au principe d'Ackermann : la roue intérieure doit tourner d'un angle plus grand que l'extérieure ².

Si les deux roues braquaient du même angle, leurs axes ne se couperaient pas au centre du virage : les pneus devraient glisser latéralement pour suivre la courbe ².

Distance le long de l'essieu : $R + \dfrac{e}{2} = 6{,}75$ m. Distance perpendiculaire : $L = 2{,}6$ m.

On applique le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle ainsi formé : $r_e = \sqrt{6{,}75^2 + 2{,}6^2}$.

On calcule : $6{,}75^2 = 45{,}5625$ et $2{,}6^2 = 6{,}76$, d'où $r_e = \sqrt{52{,}3225} \approx 7{,}23$ m.

Comparaison : la roue intérieure s'inscrit dans un cercle de rayon inférieur à celui de la roue extérieure ². Son rayon est $\sqrt{5{,}25^2 + 2{,}6^2} \approx 5{,}86$ m, valeur bien plus petite que 7,23 m.

Contrôle : l'écart entre les deux rayons vaut environ 1,37 m, un peu moins que la voie de 1,5 m, car les deux rayons ne sont pas alignés : la roue avant extérieure est décalée vers l'avant.