Expériences aléatoires et probabilités : cours de CAP

Publié le 9 novembre 2026 · Mis à jour le 9 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une expérience aléatoire a plusieurs résultats possibles (les issues) et son résultat ne se prévoit pas avec certitude ; on connaît pourtant la liste des issues.
Une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1 (on peut l'écrire en pourcentage) : 0 pour un événement impossible, 1 pour un événement certain.
Quand toutes les issues ont autant de chances : $P(A)=\dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$ .
La somme des probabilités de toutes les issues vaut 1, donc $P(\text{contraire de }A)=1-P(A)$ .
Quand on répète beaucoup une expérience, la fréquence observée se rapproche de la probabilité ; sur peu d'essais, elle peut s'en écarter nettement.

Introduction : pourquoi parler de probabilités ?

Tu lances un dé, tu tires une carte, tu regardes si un appareil de fabrication sort une pièce défectueuse : dans chaque cas, tu ne peux pas savoir à l'avance ce qui va arriver. Pourtant, tu sais déjà beaucoup de choses : les résultats possibles, ceux qui reviennent plus souvent, ceux qui sont rares.

Les probabilités servent à mettre un nombre sur cette impression de « chances ». Elles interviennent en atelier (taux de pièces défectueuses), en commerce (produits retournés), en santé (risque d'un accident), dans les jeux, dans les assurances.

La théorie des probabilités permet d'évaluer les chances qu'un événement se produise dans un cadre fixé d'avance, alors que la statistique, que tu as déjà rencontrée, analyse des données récoltées ⁴. Dans ce cours, tu fais le lien entre les deux : on calcule d'abord ce qui devrait arriver, puis on compare avec ce qu'on observe.

Tu as déjà vu les séries statistiques, les fréquences, la moyenne, la médiane et l'étendue. Les fréquences vont nous servir tout de suite : elles sont le pont entre ce que tu mesures et ce que tu calcules.

1. Expérience aléatoire, issues et univers

2. La probabilité : un nombre entre 0 et 1

PropriétéRepères pour interpréter

Probabilité	Écriture en pourcentage	Signification
0	0 %	événement impossible
0,25	25 %	un cas sur quatre en moyenne
0,5	50 %	autant de chances que de ne pas arriver
0,9	90 %	événement très probable
1	100 %	événement certain

Pour passer d'un nombre décimal à un pourcentage, on multiplie par 100 : $0{,}25\times100=25$ , donc $25\,\%$ . Pour une fraction, on la convertit d'abord en décimal : $\dfrac{3}{4}=0{,}75=75\,\%$ .

Que veut dire « 0,5 » concrètement ? Cela ne veut pas dire que sur 2 lancers de pièce, tu auras exactement 1 pile. Cela signifie que, si tu répètes l'expérience un très grand nombre de fois, la part de « pile » se rapprochera de 0,5. Nous y reviendrons à la section 5.

3. Calculer une probabilité quand toutes les issues ont les mêmes chances

DécrireVérifier que les issues ont les mêmes chances
Cas possiblesCompter toutes les issues : dénominateur
Cas favorablesCompter celles qui réalisent l'événement
ConclureFraction simplifiée, puis phrase de réponse

Calculer une probabilité en 4 étapes · Méthode pour une expérience où toutes les issues ont les mêmes chances.

4. Somme des probabilités et événement contraire

5. Probabilité et fréquence : ce que montrent les essais

Tu connais la fréquence d'une valeur : c'est l'effectif de cette valeur divisé par l'effectif total d'une série. Quand on réalise une expérience aléatoire plusieurs fois, on obtient justement une série statistique : la liste des résultats obtenus.

Si l'événement $A$ s'est réalisé $n_A$ fois sur $N$ essais, sa fréquence est :

$f(A)=\frac{n_A}{N}$

ExempleExemple : une pièce lancée de nombreuses fois

Voici des résultats possibles pour « obtenir pile » avec une pièce équilibrée :

Nombre de lancers	Nombre de piles	Fréquence
10	7	0,70
100	56	0,56
1 000	508	0,508

La fréquence se rapproche de 0,5 quand le nombre de lancers augmente. Sur 10 lancers, un écart important est tout à fait normal.

6. Deux épreuves successives : tableau et arbre

Une expérience peut comporter plusieurs épreuves : deux lancers de pièce, deux tirages, deux dés. Pour ne rien oublier, on dresse la liste de toutes les issues, dans un tableau ou dans un arbre.

Somme de deux dés : nombre de couples sur 36
Somme	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Nombre de couples	1	2	3	4	5	6	5	4	3	2	1
Probabilité	1/36	2/36	3/36	4/36	5/36	6/36	5/36	4/36	3/36	2/36	1/36

Somme de deux dés : nombre de couples sur 36 · Les 36 couples sont équiprobables ; les sommes ne le sont pas.

Par exemple, la somme 7 est obtenue avec (1 ; 6), (2 ; 5), (3 ; 4), (4 ; 3), (5 ; 2), (6 ; 1) : 6 cas favorables sur 36.

$P(\text{somme}=7)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$

La somme 2 n'est obtenue que par (1 ; 1) : $P(\text{somme}=2)=\dfrac{1}{36}$ . La somme 7 est donc six fois plus probable que la somme 2. Les sommes n'ont pas toutes la même probabilité, même si chaque couple, lui, a la même probabilité.

7. Variable aléatoire : donner un nombre à chaque résultat

Quand les résultats d'une expérience ne sont pas des nombres (pile ou face, par exemple), on peut associer une valeur numérique à chaque résultat ⁴. C'est ce qu'on fait avec les gains d'un jeu, ou avec la somme de deux dés.

ExempleUn jeu avec gain

On lance un dé équilibré. Si le 6 sort, on gagne 5 € ; sinon, on perd 1 €. Soit $X$ le gain en euros.

Valeur de $X$	5	−1
Probabilité	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{5}{6}$

Contrôle : $\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{6}=1$ . La somme des probabilités d'une loi complète vaut toujours 1.

8. Rédiger une réponse sans se tromper

Exercices corrigés

Exercice 1 Un dé à six faces

★☆☆Environ 5 min

On lance un dé équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On note $A$ l'événement « obtenir un nombre pair ». Calcule $P(A)$ sous forme décimale.

Indice 1

Écris d'abord la liste des nombres pairs entre 1 et 6.

Indice 2

Divise le nombre de cas favorables par 6.

Voir la correction pas à pas

Le dé est équilibré : les 6 faces ont la même probabilité. Il y a donc 6 cas possibles.
Les nombres pairs sont 2, 4 et 6 : il y a 3 cas favorables.
On calcule $P(A)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}=0{,}5$ .

La probabilité d'obtenir un nombre pair est de 0,5, soit 50 %.

Exercice 2 Le contraire dans une urne

★★☆Environ 8 min

Une urne contient 12 boules indiscernables au toucher : 5 rouges, 4 bleues et 3 vertes. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité de ne pas tirer une boule rouge ? Donne la valeur décimale arrondie au dix-millième.

Indice 1

Tu peux compter directement les boules qui ne sont pas rouges.

Indice 2

Tu peux aussi calculer $1-P(\text{rouge})$ pour vérifier.

Voir la correction pas à pas

Les boules ont la même probabilité d'être tirées : il y a 12 cas possibles.
Les boules qui ne sont pas rouges sont les 4 bleues et les 3 vertes : $4+3=7$ cas favorables.
On a $P=\dfrac{7}{12}\approx0{,}5833$ .
Vérification : $P(\text{rouge})=\dfrac{5}{12}$ , et $1-\dfrac{5}{12}=\dfrac{7}{12}$ .

La probabilité de ne pas tirer une boule rouge vaut $\dfrac{7}{12}$ , soit environ 58,3 %.

Exercice 3 Somme de deux dés

★★★Environ 10 min

On lance deux dés équilibrés numérotés de 1 à 6 et on fait la somme des deux faces. Calcule la probabilité d'obtenir une somme égale à 7, sous forme décimale arrondie au dix-millième.

Indice 1

Combien de couples (premier dé ; second dé) existe-t-il en tout ?

Indice 2

Liste les couples dont la somme vaut 7 en partant de (1 ; 6).

Voir la correction pas à pas

Chaque dé a 6 faces : il y a $6\times6=36$ couples possibles, tous de même probabilité.
On liste les couples de somme 7 : (1 ; 6), (2 ; 5), (3 ; 4), (4 ; 3), (5 ; 2), (6 ; 1). Il y en a 6.
On calcule $P=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}\approx0{,}1667$ .

La somme 7 apparaît avec une probabilité de $\dfrac{1}{6}$ , soit environ 16,7 %. C'est la somme la plus probable.

Les questions qu'on se pose

Quelle est la différence entre probabilité et fréquence ?

La fréquence se mesure après avoir fait des essais : c'est le nombre de réalisations divisé par le nombre d'essais. La probabilité est une valeur théorique, calculée à l'avance quand on connaît la situation. Quand les essais sont nombreux, la fréquence se rapproche de la probabilité ².

Pourquoi ma probabilité ne peut-elle pas dépasser 1 ?

Une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1 ⁴. Si tu trouves plus, tu as sûrement inversé la fraction (cas possibles sur cas favorables) ou compté des issues en trop. Vérifie toujours que le numérateur est inférieur ou égal au dénominateur.

Si une pièce est tombée 5 fois sur pile, a-t-elle plus de chances de tomber sur face ensuite ?

Non. Les lancers sont indépendants et la pièce n'a pas de mémoire : la probabilité du lancer suivant reste la même (0,5 pour une pièce équilibrée). Une série de piles est possible, surtout sur peu de lancers.

Quand puis-je utiliser « cas favorables sur cas possibles » ?

Seulement quand toutes les issues ont la même probabilité : dé équilibré, boules identiques tirées au hasard, cartes bien mélangées. L'énoncé le dit souvent avec les mots « équilibré » ou « au hasard ». Si ce n'est pas le cas, on utilise les probabilités données ou des fréquences observées.

Comment rédiger la réponse à l'examen ?

Nomme l'événement, justifie l'équiprobabilité en une phrase, donne le nombre de cas possibles puis favorables, écris la fraction simplifiée et termine par une phrase de conclusion avec la probabilité en décimal ou en pourcentage.

Sources

Ressources d'accompagnement - Statistique et probabilités (CAP), Éduscol. Consulté le 9 novembre 2026.
Document d'accompagnement pédagogique - Probabilités, IREM Université de Lille. Consulté le 9 novembre 2026.
Variable aléatoire à densité, Wikipédia. Consulté le 9 novembre 2026.
Théorie des probabilités, Wikipédia. Consulté le 9 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

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L'essentiel

Introduction : pourquoi parler de probabilités ?

1. Expérience aléatoire, issues et univers

2. La probabilité : un nombre entre 0 et 1

3. Calculer une probabilité quand toutes les issues ont les mêmes chances

4. Somme des probabilités et événement contraire

5. Probabilité et fréquence : ce que montrent les essais

6. Deux épreuves successives : tableau et arbre

7. Variable aléatoire : donner un nombre à chaque résultat

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