Expériences aléatoires et probabilités : exercices de CAP

Les issues possibles sont 1, 2, 3, 4, 5 et 6 : il y a 6 cas possibles.

Les nombres pairs parmi eux sont 2, 4 et 6 : il y a 3 cas favorables.

Le dé étant équilibré, les 6 issues ont les mêmes chances, on peut donc diviser.

Calcul : $P(A)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}=0{,}5$.

Le nombre de cas possibles est le nombre d'élèves : 25.

Le nombre de cas favorables est le nombre de garçons : 15.

Le choix est fait au hasard avec des chances égales, donc $P=\dfrac{15}{25}$.

On simplifie par 5 : $\dfrac{15}{25}=\dfrac{3}{5}=0{,}6$.

Il y a 10 billes, donc 10 cas possibles, tous aussi probables puisque les billes sont indiscernables au toucher.

Question 1 : 3 billes bleues, donc $P(\text{bleue})=\dfrac{3}{10}=0{,}3$.

Question 2, première méthode : les billes non rouges sont $3+2=5$, donc $\dfrac{5}{10}=0{,}5$.

Question 2, seconde méthode : $P(\text{rouge})=\dfrac{5}{10}=0{,}5$, donc $P(\text{non rouge})=1-0{,}5=0{,}5$. Les deux méthodes donnent le même résultat.

Question 3 : il n'y a aucune bille jaune, l'événement est impossible, sa probabilité est $0$.

Question 1 : l'effectif de « pile » est 108 et le nombre d'essais est 200, donc $f=\dfrac{108}{200}=0{,}54$.

Question 2 : deux issues également probables, donc $P(\text{pile})=\dfrac{1}{2}=0{,}5$.

Question 3 : $0{,}54$ n'est pas égal à $0{,}5$, mais les deux valeurs sont proches ; l'écart est de $0{,}04$.

Sur un nombre d'essais limité, une fréquence varie d'une série à l'autre. Elle se rapproche de la probabilité quand le nombre d'essais devient très grand ².

Question 1 : 8 cas possibles de même chance, 3 cas favorables, donc $P(\text{gagner})=\dfrac{3}{8}=0{,}375$.

Question 2 : sur 400 parties, on attend environ $\dfrac{3}{8}\times 400=150$ parties gagnantes.

Ce nombre est une valeur autour de laquelle on se situe : le résultat réel sera proche de 150, sans être forcément égal à 150.

Question 3 : chaque tour est indépendant du précédent. À chaque tour la probabilité de gagner reste $0{,}375$.

Question 1 : le dé rouge a 6 résultats et, pour chacun, le dé bleu en a 6. Il y a donc $6\times 6=36$ issues, toutes de même chance.

Question 2 : les doubles sont (1 ; 1), (2 ; 2), (3 ; 3), (4 ; 4), (5 ; 5) et (6 ; 6) : il y en a 6.

On calcule $P(\text{double})=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}\approx 0{,}167$.

Question 3 : on attend environ $\dfrac{6}{36}\times 600=100$ doubles.

Remarque : (2 ; 5) et (5 ; 2) sont deux issues différentes, car les dés ne jouent pas le même rôle. C'est pour cela qu'il y a 36 issues et non 21.