Mathématiques (spécialité) · PremièreÉpreuve anticipée de mathématiques

Raisonnement et logique : cours de Première (spécialité)

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Un raisonnement par induction mène à une conjecture ; seule une démonstration déductive l'établit, et un seul contre-exemple suffit à réfuter une propriété universelle.³
Pour « si P alors Q » : la réciproque est « si Q alors P » (pas équivalente) ; la contraposée est « si non Q alors non P » (équivalente).
Négation : « pour tout » devient « il existe » et inversement ; la négation de « A et B » est « non A ou non B ».
Quatre outils de preuve : démonstration directe, disjonction de cas, contraposée, raisonnement par l'absurde.
Un raisonnement qui paraît valable sans l'être est dit fallacieux.⁵ On le repère en cherchant la règle de déduction qui justifie chaque étape.

Pourquoi apprendre à raisonner

En mathématiques, trouver un résultat ne suffit pas : il faut pouvoir convaincre quelqu'un, avec des arguments que personne ne peut contester. Le raisonnement est présenté dans les ressources officielles comme une démarche de justification argumentée reposant sur la logique.¹ Il est aussi au cœur de l'activité mathématique, et c'est un objectif essentiel dès le collège, au cycle 4.²

Ce cours reprend les outils que tu as déjà croisés au collège et en Seconde, et il les range proprement : qu'est-ce qu'une conjecture, comment écrire une implication, comment réfuter une affirmation, quelles méthodes de preuve choisir. Au niveau du lycée, on ne fait pas de logique formelle pour elle-même.¹ Ici, les raisonnements s'écrivent en français, avec des notations simples. L'objectif est pratique : rédiger des démonstrations justes, et repérer les raisonnements qui ont l'air justes mais ne le sont pas.

Induction, conjecture et déduction

Un raisonnement est un processus qui permet de traiter un problème de façon réfléchie pour obtenir un résultat : mieux comprendre un fait ou vérifier qu'il est vrai.⁴ Dans le domaine scientifique, on distingue deux grands types de raisonnement : le raisonnement par induction et présomption, et le raisonnement déductif.³

Il existe une exception utile à cette règle : si une conjecture est une propriété universelle (« pour tout… »), alors un seul cas où elle échoue la détruit. On parle de contre-exemple.³ C'est le seul cas où un raisonnement par présomption suffit à conclure, et il conclut que la propriété est fausse.

Propositions, implication, réciproque, contraposée

Quantificateurs, négation et contre-exemple

Quatre méthodes de démonstration

Une fois la propriété à démontrer bien comprise, il reste à choisir une stratégie. Voici les quatre que tu dois maîtriser en Première.

Démonstration · Pourquoi la contraposée est équivalente à l'implication

Supposons $P \Rightarrow Q$ vraie et prenons un cas où $\text{non } Q$ est vrai. Si $P$ était vraie dans ce cas, $Q$ le serait aussi par l'implication : contradiction avec « non $Q$ ». Donc $P$ est fausse, c'est-à-dire que « non $P$ » est vraie : on a $\text{non } Q \Rightarrow \text{non } P$ . Le raisonnement inverse, appliqué à la contraposée, redonne l'implication de départ.

Les raisonnements fallacieux

En cours de mathématiques, tu rencontres surtout des paralogismes : c'est toi qui te trompes, sans le vouloir. Le plus fréquent consiste à utiliser la réciproque d'une propriété comme si elle était vraie, ou à conclure à partir de quelques exemples.

Le modèle classique de la pensée logique est le syllogisme, un schéma ancien dont le raisonnement peut être formalisé selon des règles strictes.⁴ Un raisonnement est dit formalisé lorsqu'il s'énonce dans une langue formelle aux règles de syntaxe strictes, qui évacue l'ambiguïté ; les raisonnements mathématiques sont typiquement de ce genre, à des degrés de formalisme variables.⁴

Logique et Python

Python te donne des outils qui traduisent presque mot à mot les quantificateurs. Avec une liste de valeurs L :

all(P(x) for x in L) répond à « pour tout $x$ de la liste, $P(x)$ » ;
any(P(x) for x in L) répond à « il existe $x$ dans la liste tel que $P(x)$ ».

Ces deux fonctions ne testent qu'un nombre fini de valeurs. Un all qui renvoie True sur la liste range(1, 1000) est une présomption, pas une preuve pour tous les entiers. En revanche, un all qui renvoie False fournit un contre-exemple, donc une vraie réfutation.

ExempleChercher un contre-exemple par balayage

def est_premier(n):
    if n < 2:
        return False
    for d in range(2, int(n**0.5) + 1):
        if n % d == 0:
            return False
    return True

def contre_exemple():
    n = 1
    while est_premier(n**2 - n + 11):
        n += 1
    return n

print(contre_exemple())

La boucle while balaye les entiers à partir de $1$ et s'arrête au premier $n$ pour lequel $n^2 - n + 11$ n'est pas premier. Le programme affiche $11$ : c'est la technique de balayage que tu connais, mise au service de la logique.

Rédiger une démonstration correcte

Exercices corrigés

Exercice 1 Réfuter une conjecture

★☆☆Environ 8 min

Léa observe que $6n + 1$ est un nombre premier pour $n = 1$ , $n = 2$ et $n = 3$ . Elle conjecture : « pour tout entier $n \geqslant 1$ , $6n + 1$ est premier ».

Calcule $6n + 1$ pour $n = 1$ , $2$ , $3$ .
Trouve le plus petit entier $n \geqslant 1$ qui réfute la conjecture.
Quelle est la valeur de $6n + 1$ pour cet entier ?

Indice 1

Teste $n = 4$ puis cherche un diviseur autre que $1$ et le nombre lui-même.

Indice 2

Un nombre premier n'a que deux diviseurs : $1$ et lui-même.

Voir la correction pas à pas

Pour $n = 1$ : $6 \times 1 + 1 = 7$ , premier. Pour $n = 2$ : $13$ , premier. Pour $n = 3$ : $19$ , premier.
Pour $n = 4$ : $6 \times 4 + 1 = 25 = 5 \times 5$ . Le nombre $25$ admet le diviseur $5$ , il n'est pas premier.
Les entiers $1$ , $2$ et $3$ ne réfutent pas la conjecture, donc $n = 4$ est le plus petit contre-exemple.
La valeur cherchée est $25$ .

Un seul contre-exemple suffit à rendre la conjecture fausse, même si elle fonctionne sur les trois premières valeurs.

Exercice 2 Réciproque, contraposée et négation

★★☆Environ 12 min

On considère l'implication : « si un entier $n$ est multiple de $9$ , alors $n$ est multiple de $3$ ».

Cette implication est-elle vraie ? Justifie.
Écris sa réciproque et sa contraposée.
La réciproque est-elle vraie ? Si non, donne un contre-exemple.
Écris la négation de : « tous les multiples de $3$ sont multiples de $9$ », et dis si cette négation est vraie.

Indice 1

Si $n = 9k$ , essaie de l'écrire sous la forme $3 \times (\dots)$ .

Indice 2

Pour la négation, le mot « tous » devient « il existe au moins un ».

Voir la correction pas à pas

Si $n$ est multiple de $9$ , il existe un entier $k$ tel que $n = 9k = 3 \times 3k$ . Comme $3k$ est un entier, $n$ est multiple de $3$ : l'implication est vraie.
Réciproque : « si $n$ est multiple de $3$ , alors $n$ est multiple de $9$ ». Contraposée : « si $n$ n'est pas multiple de $3$ , alors $n$ n'est pas multiple de $9$ ».
La réciproque est fausse : $n = 6$ est multiple de $3$ ( $6 = 3 \times 2$ ) mais pas de $9$ , puisque $0 < 6 < 9$ . C'est un contre-exemple.
Négation : « il existe au moins un multiple de $3$ qui n'est pas multiple de $9$ ». Elle est vraie, avec $6$ ou $12$ comme exemple. La phrase initiale est donc fausse.

La contraposée garde la valeur de vérité de l'implication, ce qui n'est pas le cas de la réciproque. La négation d'un énoncé avec « tous » se démontre par un seul exemple.

Exercice 3 Démontrer par contraposée et chercher en Python

★★★Environ 15 min

Démontre par contraposée : « si $n^2$ est impair, alors $n$ est impair ».
Écris une fonction Python contre_exemple() qui renvoie le plus petit entier $n \geqslant 1$ tel que $n^2 - n + 11$ ne soit pas premier (tu disposes d'une fonction est_premier). Que renvoie-t-elle ?
Ce programme démontre-t-il que $n^2 - n + 11$ est premier pour tous les entiers inférieurs à ce $n$ ? Pour tous les entiers ?

Indice 1

La contraposée est : « si $n$ est pair, alors $n^2$ est pair ».

Indice 2

Pour la fonction, utilise une boucle while qui s'arrête à la première valeur non première.

Voir la correction pas à pas

Contraposée : si $n$ est pair, alors $n^2$ est pair. Si $n = 2k$ , alors $n^2 = 4k^2 = 2 \times 2k^2$ , qui est pair. La contraposée est vraie, donc l'énoncé aussi.
On écrit : n = 1, puis while est_premier(n**2 - n + 11): n += 1, puis return n.
On vérifie à la main que $n = 1$ à $n = 10$ donnent des nombres premiers et que $n = 11$ donne $121 = 11^2$ , donc la fonction renvoie $11$ .
Oui pour les entiers de $1$ à $10$ : la boucle les a tous testés et chacun a donné un nombre premier, ce qui constitue une vérification complète de ces dix cas.
Pour tous les entiers, la propriété est fausse puisque $n = 11$ est un contre-exemple. Un programme ne démontre une propriété universelle que s'il est accompagné d'un raisonnement valable pour tous les cas.

Le programme fournit un contre-exemple, donc une réfutation sûre. Il ne fournirait jamais une preuve de la propriété universelle.

Les questions qu'on se pose

Quelle différence entre « raisonner » et « démontrer » ?

Raisonner inclut la recherche, la découverte et la production d'une preuve ; la démonstration est la forme aboutie, structurée de façon déductive et rédigée.³ En pratique : on cherche d'abord (exemples, essais, schémas), puis on rédige une démonstration où chaque étape est justifiée.

Comment savoir si je dois chercher une preuve ou un contre-exemple ?

Teste d'abord quelques valeurs, y compris des cas limites (zéro, valeurs négatives, nombres premiers, grandes valeurs). Si l'une échoue, tu tiens un contre-exemple et tu as fini. Si toutes marchent, tu peux conjecturer que l'énoncé est vrai, et il faut alors une démonstration valable pour tous les cas.

Pourquoi la contraposée est-elle utile ?

Parce qu'elle est équivalente à l'implication de départ et qu'elle est parfois bien plus simple à démontrer. Pour « si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair », partir de $n^2$ est pénible, alors que partir de « $n$ impair » donne un calcul direct.

Un programme Python peut-il démontrer une propriété ?

Pas une propriété universelle : il ne teste qu'un nombre fini de cas, ce qui donne une présomption. Il sert à repérer une conjecture ou à trouver un contre-exemple, qui lui est une vraie réfutation. La démonstration reste un raisonnement écrit.

Doit-on utiliser des symboles logiques dans toutes les copies ?

Au lycée, on n'entre pas dans la logique formelle.¹ Les raisonnements s'écrivent en français. Utilise $\forall$ , $\exists$ et $\Rightarrow$ quand ils clarifient, mais une phrase bien construite vaut mieux qu'un symbole mal employé.

Sources

Intentions majeures - Raisonnement et démonstration, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Ressources Éduscol - Réussir au lycée général, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
L'argumentation en mathématiques, Académie d'Aix-Marseille. Consulté le 6 novembre 2026.
Raisonnement, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Raisonnement fallacieux, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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Quantificateurs, négation et contre-exemple

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Les raisonnements fallacieux

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