Raisonnement et logique : exercices corrigés de 1re spécialité

L'affirmation est universelle : elle prétend que l'inégalité vaut pour tous les réels. Il suffit donc d'un seul réel qui ne la vérifie pas pour la rendre fausse.

On teste des valeurs. Pour $x = 2$ : $4 \geq 2$, c'est vrai. Pour $x = 0$ et $x = 1$ : égalité, donc vrai. Pour $x = -3$ : $9 \geq -3$, vrai. Tout semble marcher avec les entiers, ce qui est trompeur.

On essaie une fraction : $x = \dfrac{1}{2}$. Alors $x^2 = \dfrac{1}{4}$ et $\dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{2}$. L'inégalité $x^2 \geq x$ est donc fausse pour cette valeur.

La valeur $x = \dfrac{1}{2}$ est un contre-exemple : l'affirmation est fausse.

Négation : $\exists x \in \mathbb{R},\ x^2 < x$. Cette négation est vraie, et le contre-exemple précédent la prouve.

Preuve de $(I)$ : supposons $n$ multiple de 6. Il existe un entier $k$ tel que $n = 6k = 3 \times (2k)$. Comme $2k$ est un entier, $n$ est multiple de 3. L'implication est vraie.

Réciproque : « Si $n$ est multiple de 3, alors $n$ est multiple de 6. »

Contraposée : « Si $n$ n'est pas multiple de 3, alors $n$ n'est pas multiple de 6. » Elle est vraie, comme $(I)$, puisqu'une implication et sa contraposée sont équivalentes.

On teste la réciproque avec les multiples de 3 : $3$ est multiple de 3 mais $3 = 6 \times 0{,}5$ n'est pas multiple de 6. La réciproque est donc fausse.

Le plus petit entier strictement positif qui est multiple de 3 sans être multiple de 6 est $3$.

Pour $n = 1$ : $1 + 1 + 41 = 43$, qui est premier. Pour $n = 2$ : $4 + 2 + 41 = 47$, qui est premier aussi.

Pour poursuivre, on teste les valeurs suivantes une à une. Elles donnent toutes des nombres premiers jusqu'à $n = 39$, où l'on obtient $1\,601$.

Pour $n = 40$ : $40^2 + 40 + 41 = 1\,600 + 40 + 41 = 1\,681$. Or $41^2 = 1\,681$, donc $1\,681 = 41 \times 41$ n'est pas premier.

Le plus petit entier cherché est donc $n = 40$.

La conjecture est fausse : $n = 40$ en est un contre-exemple.

Factorisation : $A = n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1) = (n-1)\,n\,(n+1)$. Ce sont trois entiers consécutifs.

On distingue les cas selon le reste de $n$ dans la division par 3. Ces trois cas couvrent toutes les possibilités.

Cas 1 : le reste est 0. Alors $n = 3k$, donc $n$ est multiple de 3, et $A$ aussi, puisque $n$ est l'un de ses facteurs.

Cas 2 : le reste est 1. Alors $n = 3k + 1$, donc $n - 1 = 3k$ est multiple de 3, et $A$ aussi.

Cas 3 : le reste est 2. Alors $n = 3k + 2$, donc $n + 1 = 3k + 3 = 3(k+1)$ est multiple de 3, et $A$ aussi.

Dans les trois cas, $A$ est multiple de 3 : c'est vrai pour tout entier relatif $n$.

Application : pour $n = 10$, $A = 10^3 - 10 = 990$, et $\dfrac{990}{3} = 330$.

Contraposée : « Si $n$ n'est pas pair (donc impair), alors $n^2$ n'est pas pair (donc impair). »

Soit $n$ impair. Il existe un entier $k$ tel que $n = 2k + 1$.

Alors $n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$.

En posant $m = 2k^2 + 2k$, qui est un entier, on obtient $n^2 = 2m + 1$ : $n^2$ est impair. La contraposée est démontrée.

Une implication et sa contraposée étant équivalentes, l'implication de départ est vraie : si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair.

La fonction all renvoie True si toutes les conditions sont vraies. Il suffit donc d'une valeur de $n$ où $n^2 > 2n$ est fausse pour que le programme affiche False.

Pour $n = 1$ : $1 > 2$ est faux. Le programme affiche donc False.

Liste demandée : [n for n in range(1, 51) if n**2 <= 2*n].

À la main : pour $n \geq 1$, diviser par $n > 0$ donne $n^2 \leq 2n \iff n \leq 2$. Les entiers concernés sont $1$ et $2$ (pour $n = 2$ : $4 \leq 4$).

La liste contient donc 2 éléments : [1, 2].

L'affirmation est fausse (contre-exemples $n = 1$ et $n = 2$). Elle devient vraie si l'on se restreint à $n \geq 3$, ce qui se démontre en divisant par $n$.

Affirmation : $\exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \geq N,\ u_n > 100$.

Négation : on échange chaque quantificateur et on nie la propriété. On obtient $\forall N \in \mathbb{N},\ \exists n \geq N,\ u_n \leq 100$. En clair, quel que soit le rang choisi, on trouve un terme au-delà qui ne dépasse pas 100.

Recherche du seuil : $10^2 = 100$ n'est pas strictement supérieur à 100, alors que $11^2 = 121 > 100$.

Pour $n \geq 11$, on a $n^2 \geq 121 > 100$, car la fonction carré est croissante sur les nombres positifs. Pour $N = 10$, la condition échoue puisque $u_{10} = 100$. Le plus petit entier convenable est donc $N = 11$.

La négation de la question 2 est fausse, ce qui est cohérent avec la vérité de l'affirmation.

Question 4, première affirmation : pour tout réel $x$, le réel $y = x + 1$ vérifie $y > x$. Elle est vraie. Seconde affirmation : elle demanderait un réel $y$ plus grand que tous les réels, y compris $y + 1$, ce qui est impossible. Elle est fausse.

Les deux affirmations ne diffèrent que par l'ordre des quantificateurs : dans la première, $y$ dépend de $x$ ; dans la seconde, $y$ est fixé avant $x$.

Pour $x = \dfrac{4}{3}$ : $x - 1 = \dfrac{1}{3}$, donc $(x-1)^2 = \dfrac{1}{9}$ ; et $2x - 3 = \dfrac{8}{3} - 3 = -\dfrac{1}{3}$, donc $(2x-3)^2 = \dfrac{1}{9}$. Les deux membres sont égaux : $\dfrac{4}{3}$ est bien solution.

Le raisonnement de l'élève passe de $a^2 = b^2$ à $a = b$ : ce passage est faux en général, car seule l'implication $a = b \Rightarrow a^2 = b^2$ est vraie, pas son inverse. Il oublie le cas $a = -b$. Il a perdu une solution. Il s'agit d'une erreur de raisonnement involontaire, un paralogisme.⁵

On résout par équivalences : $(x-1)^2 = (2x-3)^2 \iff (x-1)^2 - (2x-3)^2 = 0$.

On factorise : $[(x-1) - (2x-3)]\,[(x-1) + (2x-3)] = 0$, c'est-à-dire $(-x + 2)(3x - 4) = 0$.

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : $-x + 2 = 0$ ou $3x - 4 = 0$, donc $x = 2$ ou $x = \dfrac{4}{3}$.

L'ensemble des solutions est $\left\{\dfrac{4}{3} ; 2\right\}$, et la somme des solutions vaut $2 + \dfrac{4}{3} = \dfrac{10}{3} \approx 3{,}3333$.

Calculs : $S_1 = 1$, $S_2 = 1 + 3 = 4$, $S_3 = 4 + 5 = 9$, $S_4 = 9 + 7 = 16$.

Ces valeurs sont $1^2$, $2^2$, $3^2$, $4^2$. Conjecture : pour tout entier $n \geq 1$, $S_n = n^2$. À ce stade, c'est une conjecture tirée de quatre observations (un raisonnement par induction), pas encore une preuve.³

Preuve : les termes $1, 3, \dots, 2n-1$ sont $n$ termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison 2, de premier terme 1 et de dernier terme $2n-1$.

La somme vaut donc $S_n = n \times \dfrac{1 + (2n-1)}{2} = n \times \dfrac{2n}{2} = n \times n = n^2$.

Ce calcul vaut pour tout entier $n \geq 1$ : la conjecture est démontrée par un raisonnement déductif.

Application : $S_{15} = 15^2 = 225$.