Vecteur vitesse et variation de vitesse : exercices de Première

Coordonnées du déplacement : $(7-1\,;\,10-2) = (6\,;\,8)$ m.

Norme : $\|\overrightarrow{M_1M_2}\| = \sqrt{6^2+8^2} = \sqrt{100} = 10$ m.

Durée : $\Delta t = 2{,}0 - 0 = 2{,}0$ s.

Valeur de la vitesse moyenne : $v_{moy} = \dfrac{10}{2{,}0} = 5{,}0$ m/s.

Le vecteur vitesse moyenne est le déplacement divisé par un nombre positif : il a donc la même direction et le même sens que $\overrightarrow{M_1M_2}$, de $M_1$ vers $M_2$.

Déplacement : $\overrightarrow{M_3M_4} = (0{,}50-0{,}30\,;\,0{,}25-0{,}10) = (0{,}20\,;\,0{,}15)$ m.

Division par la durée : $\vec v_{moy} = \left(\dfrac{0{,}20}{0{,}20}\,;\,\dfrac{0{,}15}{0{,}20}\right) = (1{,}0\,;\,0{,}75)$ m/s.

Norme : $\sqrt{1{,}0^2+0{,}75^2} = \sqrt{1{,}5625} = 1{,}25$ m/s.

Contrôle : la norme du déplacement est $\sqrt{0{,}04+0{,}0225} = 0{,}25$ m, et $0{,}25/0{,}20 = 1{,}25$ m/s. Les deux chemins donnent le même résultat.

Variation de vitesse : $\Delta\vec v = (5{,}0-2{,}0\,;\,5{,}0-1{,}0) = (3{,}0\,;\,4{,}0)$ m/s.

Norme : $\|\Delta\vec v\| = \sqrt{3{,}0^2+4{,}0^2} = 5{,}0$ m/s.

Normes des vitesses : $\|\vec v_1\| = \sqrt{4+1} \approx 2{,}24$ m/s et $\|\vec v_2\| = \sqrt{25+25} \approx 7{,}07$ m/s.

Leur différence vaut environ $4{,}83$ m/s, ce qui n'est pas 5,0 m/s : la norme de $\Delta\vec v$ n'est pas la différence des normes.

Variation de vitesse : $\Delta v = 10{,}0 - 4{,}0 = 6{,}0$ m/s.

Accélération moyenne : $a = \dfrac{v_f - v_i}{t} = \dfrac{6{,}0}{3{,}0} = 2{,}0$ m/s².

Schéma : $\vec v_f$ est plus long que $\vec v_i$ ; le vecteur $\Delta\vec v$ part de la pointe de $\vec v_i$ et rejoint celle de $\vec v_f$ : il est orienté dans le sens du mouvement.

Cas du freinage : $\Delta v = 4{,}0 - 10{,}0 = -6{,}0$ m/s. Le signe négatif indique que $\Delta\vec v$ est orienté à l'opposé du mouvement.

Longueur d'un tour : $L = 2\pi R = 2\pi \times 0{,}60 \approx 3{,}77$ m.

Valeur de la vitesse : $v = \dfrac{L}{T} = \dfrac{3{,}77}{3{,}0} \approx 1{,}26$ m/s.

La valeur de la vitesse est constante, mais la direction du vecteur change à chaque instant : le vecteur vitesse n'est donc pas constant.

En chaque point du cercle, le vecteur vitesse instantanée suit la tangente à la trajectoire.²

Normes : $\|\vec v_A\| = 2{,}0$ m/s et $\|\vec v_B\| = 2{,}0$ m/s. Elles sont égales.

Variation : $\Delta\vec v = (-2{,}0-0\,;\,0-2{,}0) = (-2{,}0\,;\,-2{,}0)$ m/s.

Norme : $\|\Delta\vec v\| = \sqrt{4+4} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83$ m/s.

Le milieu de l'arc $AB$ est situé dans la direction $(1\,;\,1)$ depuis $O$. Le vecteur $(-1\,;\,-1)$, parallèle à $\Delta\vec v$, pointe de ce milieu vers $O$ : $\Delta\vec v$ est dirigé vers le centre du cercle.

Variation de vitesse : $\Delta\vec v = (3{,}0-3{,}0\,;\,-1{,}5-0) = (0\,;\,-1{,}5)$ m/s.

Ce vecteur est vertical et orienté vers le bas. Comme le vecteur variation de vitesse a la même direction et le même sens que la somme des forces, cette somme est verticale, dirigée vers le bas.¹

Valeur de $\dfrac{\Delta\vec v}{\Delta t}$ : $\left\|\dfrac{(0\,;\,-1{,}5)}{0{,}50}\right\| = \dfrac{1{,}5}{0{,}50} = 3{,}0$ m/s².

Le texte donne la direction, le sens et le rythme de variation de la vitesse, mais aucune caractéristique de la bille permettant de passer à une valeur de force : on ne sait donc pas encore la calculer.

La vitesse instantanée est la dérivée de la position : $v(t) = \dfrac{dx}{dt} = 4t + 3$.³

À $t = 2{,}0$ s : $v(2) = 4 \times 2 + 3 = 11$ m/s.

Positions : $x(2) = 2 \times 4 + 6 = 14$ m et $x(3) = 2 \times 9 + 9 = 27$ m.

Vitesse moyenne : $\dfrac{27-14}{3-2} = 13$ m/s.

La vitesse augmente au fil du temps (elle vaut $v(3) = 15$ m/s à $t = 3{,}0$ s) : la vitesse moyenne sur l'intervalle est supérieure à la vitesse à son début, qui est la valeur instantanée.