Cinématique du solide : exercices corrigés de 1re SI

Rappelle la définition : le solide est en translation par rapport au repère si les vecteurs de sa base restent constants, donc si son taux de rotation est nul ².

Tiroir : il garde son orientation pendant qu'il coulisse. C'est le cas d'école d'une translation ².

Toupie : son orientation varie dans le temps, on la décrit par trois angles (précession, nutation, rotation propre). Ce n'est pas une translation ².

Roue de bicyclette : la roue tourne autour de son moyeu, son orientation change. Ce n'est pas une translation du solide « roue ». En revanche, le moyeu a une trajectoire rectiligne par rapport au sol ², alors qu'un point du pneu a une trajectoire plus complexe : la trajectoire dépend du point choisi.

Ascenseur : il monte sans tourner, son orientation est constante. C'est une translation rectiligne par rapport au bâtiment.

Le tiroir est en translation, donc chacun de ses points se déplace de la même façon. Il suffit de calculer la distance pour un seul point ².

La vitesse est constante : $d = v \times t$.

Application numérique : $d = 0{,}4 \times 1{,}5 = 0{,}6$ m.

Convertis les tours en radians : $300$ tours $= 300 \times 2\pi$ rad.

Convertis les minutes en secondes : $1$ min $= 60$ s.

Divise : $\omega = \dfrac{300 \times 2\pi}{60} = 10\pi$ rad/s.

Valeur approchée : $10\pi \approx 31{,}42$ rad/s.

Le solide est indéformable : tous ses points ont la même vitesse angulaire $\omega = 20$ rad/s ⁶.

Point de la périphérie : $v = \omega R = 20 \times 0{,}15 = 3$ m/s.

Point à $0{,}05$ m de l'axe : $v = 20 \times 0{,}05 = 1$ m/s.

Vérification : $0{,}05$ est le tiers de $0{,}15$, donc la vitesse est le tiers de $3$ m/s, soit $1$ m/s.

Un axe lié au solide garde une orientation constante : le taux de rotation est égal à $\alpha'$ ².

Dérive : $\alpha'(t) = t + 2$.

Évalue en $t = 4$ s : $\omega = 4 + 2 = 6$ rad/s.

Remarque : $\omega$ dépend du temps, le bras accélère. À $t = 0$, il tournait déjà à $2$ rad/s.

La composition des vitesses relie la vitesse par rapport au sol à la vitesse par rapport au tapis et à celle du tapis ¹.

Sens positif : celui du tapis. Alors $v_{1/0} = +1{,}2$ m/s (tapis par rapport au sol).

Le voyageur marche à contre-sens : $v_{M/1} = -0{,}8$ m/s.

Somme : $v_{M/0} = -0{,}8 + 1{,}2 = +0{,}4$ m/s.

L'étude du mouvement demande la trajectoire, la vitesse et l'accélération du point ². Ici la trajectoire est une droite et l'accélération est constante.

Vitesse à $t = 5$ s : $v = a t = 2 \times 5 = 10$ m/s.

La vitesse passe linéairement de $0$ à $10$ m/s : sa valeur moyenne est $5$ m/s.

Distance : $d = 5 \times 5 = 25$ m, ce que confirme $d = \tfrac{1}{2} \times 2 \times 5^2 = 25$ m.

Chaque poulie est un solide qui tourne autour d'un axe fixe : un point de sa périphérie a pour vitesse $v = \omega R$.

Poulie motrice : $v = 50 \times 0{,}04 = 2$ m/s. C'est aussi la vitesse de la courroie, puisqu'elle ne glisse pas.

Poulie réceptrice : la même vitesse de $2$ m/s s'applique à sa périphérie, donc $\omega_2 = \dfrac{v}{R_2} = \dfrac{2}{0{,}10} = 20$ rad/s.

Contrôle : la poulie réceptrice est $2{,}5$ fois plus grande, elle tourne $2{,}5$ fois moins vite : $50 / 2{,}5 = 20$ rad/s.