Modélisation des liaisons mécaniques : cours de Première SI

Regarde un système réel : une porte, un vélo, une perceuse, un bras de robot. Chacun est un assemblage de pièces qui se touchent, glissent ou tournent les unes par rapport aux autres. Pour prévoir son comportement, tu ne peux pas raisonner sur chaque vis, chaque roulement, chaque trace de graisse. Tu dois simplifier : garder ce qui compte pour la question posée, oublier le reste.

Cette simplification s'appelle la modélisation. En mécanique, elle repose sur une idée centrale : décrire la manière dont deux pièces sont reliées par un modèle, la liaison mécanique. Ce modèle traduit le comportement cinématique d'une pièce par rapport à une autre, et il est incontournable dès que l'on étudie un mécanisme ³.

Pourquoi est-ce utile ? Parce que le modèle devient un outil de calcul. La modélisation cinématique vise à constituer un outil qui permet de valider ou de vérifier, par le calcul, les performances mécaniques d'un système ⁴. Et côté efforts, la modélisation permet de déterminer les efforts de liaison à partir des efforts extérieurs appliqués ¹. Autrement dit, avant de fabriquer, tu peux savoir si le mécanisme bouge comme prévu et quelles forces passent d'une pièce à l'autre.

Deux précisions utiles.

Premièrement, le lien est le plus souvent direct. Dans la plupart des cas, la liaison entre deux ensembles de pièces représente un contact direct ; un lien indirect existe mais reste rare, comme celui d'un train à sustentation magnétique qui flotte au-dessus de son rail sans le toucher ³. Dans ce cours, nous resterons sur des contacts directs.

Deuxièmement, on ne relie pas forcément deux pièces isolées. En réalité, la notion de liaison s'étend aux classes d'équivalence ⁴. Une classe d'équivalence cinématique (notée CEC) est un groupe de pièces qui ne bougent pas les unes par rapport aux autres : tant qu'elles restent solidaires, on les traite comme un seul solide. Ainsi, l'arbre d'un moteur, sa clavette et le pignon qu'elle porte forment une seule CEC ; la liaison se place entre cette CEC et le carter.

Toute liaison réduit l'ensemble des mouvements que les pièces d'un mécanisme peuvent faire, c'est-à-dire leurs degrés de liberté ⁴. Il faut donc d'abord comprendre ce qu'est un degré de liberté.

Prends un solide totalement libre dans l'espace, par exemple un ballon lancé en l'air. Tu peux décrire ses mouvements en les décomposant selon trois axes perpendiculaires $x$, $y$, $z$ :

• trois translations : le long de $x$, le long de $y$, le long de $z$ ;
• trois rotations : autour de $x$, autour de $y$, autour de $z$.

Cela fait donc $3 + 3 = 6$ mouvements indépendants possibles. Un solide libre dans l'espace dispose de $6$ degrés de liberté. Quand tu relies ce solide à un autre par une liaison, certains de ces mouvements deviennent impossibles, les autres restent permis.

Comment passe-t-on d'un contact réel à une liaison ? On observe la forme des surfaces qui se touchent. En combinant des surfaces de forme simple (plans, cylindres, sphères, et parfois cônes), on dresse une liste de cas : les liaisons élémentaires, qui fournissent les bases des modèles de calcul en mécanique ³. La modélisation cinématique s'appuie sur une liste réduite de liaisons élémentaires, qui constituent les mécanismes ⁴.

Les textes de référence citent par exemple les liaisons nommées ponctuelle, appui, glissière, pivot glissant et pivot ³. Tu peux les comprendre à partir du contact :

• une sphère posée sur un plan ne touche qu'en un point : c'est le cas de la liaison ponctuelle ;
• un plan posé sur un plan touche sur une surface : on parle d'appui ;
• un cylindre dans un alésage (un trou cylindrique) peut tourner autour de son axe et coulisser le long de celui-ci : c'est l'idée du pivot glissant ;
• si l'on empêche en plus le coulissement, il ne reste que la rotation autour de l'axe : c'est le pivot, celui de la porte sur ses gonds.

Ces descriptions sont des raisonnements que tu peux refaire seul avec des formes simples. Elles ne remplacent pas les définitions complètes de ton cours, avec les tableaux des mouvements permis pour chaque liaison.

Par exemple, une bille posée sur un plan ne peut pas s'enfoncer dans le plan, mais rien ne l'empêche de décoller. Pourtant, dans les calculs, on suppose habituellement que la liaison agit dans les deux sens ³. Pour garantir ce comportement sur un mécanisme réel, il faut ajouter un second contact ponctuel, de même direction normale mais orienté à l'inverse. Image à retenir : une bille coincée entre deux plaques fixées l'une à l'autre et placées face à face, de part et d'autre de la bille ³. Cette exigence de contact dans les deux sens compte encore plus pour certaines liaisons, comme l'appui, la glissière ou le pivot glissant ³.

À chaque liaison élémentaire correspondent des outils mathématiques exploitables pour résoudre des problèmes de mécanique, et l'on distingue principalement deux types d'étude ³. Une même liaison se lit donc de deux façons.

Il existe un lien direct entre les deux. Pour une liaison parfaite (sans frottement), un mouvement permis correspond à une action non transmise dans la même direction (la liaison laisse faire), et un mouvement interdit correspond à une action transmissible (la liaison résiste). Tu peux le vérifier avec la porte : elle tourne librement autour de l'axe des gonds, donc dans le modèle sans frottement les gonds n'opposent aucun moment le long de cet axe ; en revanche, ils retiennent la porte dans toutes les autres directions, donc ils transmettent des forces dans ces directions.

Ne t'inquiète pas si le mot torseur est nouveau : tu peux, pour l'instant, le voir comme un tableau qui range, direction par direction, les forces et les moments que la liaison est capable de transmettre. La statique des solides, qui suit ce cours, t'apprendra à l'utiliser.

Un contact réel peut souvent être modélisé de deux manières proches. Le choix revient alors au mécanicien, qui le justifie par ce qu'il veut obtenir comme résultat ³. La règle est la suivante.

Pourquoi ces deux règles vont-elles dans des sens opposés ? Réfléchis en termes de résolution.

En statique, on cherche des efforts de liaison inconnus à partir des efforts extérieurs connus ¹. Chaque direction que la liaison bloque ajoute une inconnue (une force ou un moment à trouver). Un modèle qui bloque moins de directions donne moins d'inconnues, donc des calculs plus faciles, et plus souvent solubles.

En cinématique, on cherche des relations entre les mouvements. Chaque direction bloquée fournit une équation du type « le déplacement dans cette direction est nul ». Un modèle plus contraignant donne donc plus d'équations, ce qui aide à déterminer les mouvements restants.

Une fois les liaisons choisies, il faut les dessiner. Deux représentations dominent en modélisation cinématique.

• Le graphe des liaisons est la forme la plus fondamentale de l'outil de calcul : il montre quelles classes d'équivalence sont reliées entre elles et par quelle liaison ⁴.
• Le schéma cinématique donne une représentation simplifiée permettant de mieux comprendre le fonctionnement, côté cinématique ⁴.

Le graphe répond à la question : qui est relié à qui, et comment ? Le schéma ajoute la géométrie : où sont les axes, comment les liaisons sont orientées les unes par rapport aux autres.

On y place d'abord les pièces, puis les liaisons qui les agencent. La modélisation cinématique demande de définir les pièces et les liaisons mécaniques qui les organisent ⁴. L'ensemble des liaisons et leur disposition relative dans l'espace définissent le mécanisme ⁴. C'est le sens de l'exemple des roues : si les pivots des roues d'une voiture ne sont pas parallèles, elle fonctionne moins bien ⁴. Les mêmes liaisons, mal disposées, donnent un mécanisme différent.

Il reste deux cas particuliers à connaître.

Les solides déformables. Ressorts et courroies reçoivent un traitement à part : on les modélise le plus souvent par une action extérieure ou par une liaison mécanique spécifique ⁴. Les ressorts et autres éléments de transmission de mouvement sont considérés comme des liaisons technologiques, avec une modélisation et une représentation propres ⁴.

Les liaisons temporaires. Certains organes technologiques permettent des liaisons temporaires, alors que la modélisation cinématique raisonne en général sur des liaisons permanentes ⁴.