Modélisation des liaisons mécaniques : exercices de 1re

Repérer l'erreur. L'élève décrit un composant matériel (vis, axe). Or la liaison est un modèle de comportement, pas un objet.

Donner la définition. Une liaison mécanique est une relation entre deux solides par contact ⁴ ; c'est le modèle de comportement cinématique qui décrit cette relation ³.

Citer les deux aspects. On peut l'exprimer sous l'aspect cinématique (mouvements possibles) ou sous l'aspect des actions mécaniques (efforts transmis) ³.

Poser le calcul. Degrés de liberté restants = degrés de liberté du solide libre − mouvements supprimés, soit $6 - 4$.

Calculer. $6 - 4 = 2$ : il reste 2 degrés de liberté.

Interpréter. Une liaison diminue le nombre de degrés de liberté des pièces ⁴ ; ici, il reste une rotation autour de l'axe et une translation le long de ce même axe.

Repartir du maximum. Le torseur compte 6 composantes. Chaque degré de liberté laissé libre annule une composante.

Calculer. Le pivot laisse 1 mouvement libre, donc $6 - 1 = 5$ composantes inconnues.

Justifier le moment nul. La rotation autour de l'axe est libre et la liaison est parfaite : aucun moment ne s'oppose à cette rotation. Un sujet d'examen utilise d'ailleurs une liaison pivot parfaite d'axe donné comme modèle ².

Faire le lien avec le torseur. Le torseur de la liaison s'écrit en un point et dans une base locale choisis selon la liaison ³.

Statique. On préfère le modèle moins contraignant, qui apporte moins d'inconnues ³ : c'est le modèle B.

Cinématique. On préfère la liaison plus contraignante, qui apporte plus d'équations pour résoudre le problème ³ : c'est le modèle A.

Justifier le choix humain. Quand plusieurs modèles sont possibles, c'est au mécanicien de choisir, en fonction des résultats attendus ³.

Modèle 1. Un pivot : $6 - 1 = 5$ inconnues. Deux pivots : $2 \times 5 = 10$ inconnues.

Modèle 2. Rotule : $6 - 3 = 3$ inconnues ; linéaire annulaire : $6 - 4 = 2$ inconnues ; total $3 + 2 = 5$ inconnues.

Comparer. En statique, on préfère le modèle qui apporte le moins d'inconnues ³ : le modèle 2 (5 inconnues contre 10).

Vérifier l'implantation. Définir les liaisons ne suffit pas : leur disposition dans l'espace est déterminante ⁴. Les axes des deux gonds doivent être alignés ; des gonds placés au-dessus de la porte la rendraient basculante ⁴.

Qualifier la liaison. Le contact interdit le rapprochement des corps, mais ne s'oppose pas à leur écartement : la liaison est unilatérale ³. La bille peut donc quitter le plan.

Trouver la solution. Pour obtenir un comportement bilatéral dans un mécanisme réel, on ajoute un second contact ponctuel de même direction et de sens opposé, comme une sphère enserrée entre deux plans solidaires ³.

Rappeler le modèle. Par défaut, le modèle mathématique d'une liaison raisonne comme si elle était bilatérale ³.

Nommer les liaisons. 0–1 : pivot ; 1–2 : pivot ; 2–3 : pivot ; 3–0 : glissière (translation guidée dans le cylindre).

Dessiner le graphe. Quatre sommets 0, 1, 2, 3 reliés en boucle : 0–1, 1–2, 2–3, 3–0. Le graphe des liaisons est la forme la plus fondamentale de la modélisation cinématique ⁴.

Compter. Il y a 4 arcs, donc 4 liaisons.

Rôle du schéma cinématique. Il donne une représentation simplifiée qui facilite la compréhension du fonctionnement ⁴ : il ajoute au graphe la géométrie (positions et orientations des axes).

(a) Surfaces : plan sur plan. Le tiroir garde deux translations et une rotation autour de la normale : liaison appui plan.

(b) Surfaces : cylindre dans cylindre, avec arrêt axial. Seule la rotation autour de l'axe subsiste : liaison pivot.

(c) Surfaces : cylindre dans cylindre, sans arrêt axial. La rotation et la translation le long de l'axe subsistent : liaison pivot glissant.

Principe de construction. On combine des surfaces simples (plans, cylindres, sphères, parfois cônes) pour obtenir des liaisons élémentaires ³.

Liaison inférieure. Les trois cas mettent en jeu des contacts par une surface : ce sont des liaisons inférieures, par opposition aux liaisons supérieures où le contact se réduit à un point ou une ligne ³.