Automatismes de calcul littéral : exercices de seconde

Publié le 9 novembre 2026 · Mis à jour le 9 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Développer, c'est distribuer chaque terme : $k(a+b)=ka+kb$ et $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$ .
Les trois identités remarquables se reconnaissent au premier coup d'œil : $(a+b)^2$ , $(a-b)^2$ , $(a+b)(a-b)$ .
Factoriser, c'est chercher un facteur commun ou une identité ; une équation produit nul se résout facteur par facteur.
Pour résoudre une équation du premier degré, on isole $x$ en appliquant la même opération aux deux membres.
Un bon automatisme se contrôle : on remplace $x$ par une valeur simple pour vérifier le résultat.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices servent à rendre le calcul littéral automatique. En seconde, on y revient sans cesse : dès qu'il faut étudier le signe d'une expression, tracer une courbe, résoudre un problème de géométrie ou trouver l'ensemble des solutions d'une équation ou d'une inéquation, on a besoin de développer, de réduire ou de factoriser sans hésiter.¹ Les gestes eux-mêmes sont ceux du collège : l'enjeu est la rapidité et la fiabilité.

Les exercices sont classés par niveau. Le niveau 1 revoit les gestes de base, le niveau 2 demande de choisir entre développer et factoriser, le niveau 3 mélange plusieurs étapes. Prends une feuille, cherche chaque exercice sans regarder, puis ouvre les indices un par un, et seulement ensuite la correction.

Les exercices

Exercice 1 Développer et réduire

★☆☆Environ 4 min

On considère l'expression $E = 3(2x-5)+4x$ .

Développe et réduis $E$ .
Calcule la valeur de $E$ pour $x=3$ en utilisant l'expression de départ.

Indice 1

Distribue d'abord le facteur 3 sur chaque terme de la parenthèse.

Indice 2

Regroupe ensuite les termes en $x$ entre eux, puis les nombres seuls.

Voir la correction pas à pas

On distribue le 3 : $3(2x-5)=6x-15$ .
On réécrit l'expression : $E=6x-15+4x$ .
On regroupe les termes en $x$ : $6x+4x=10x$ . On obtient $E=10x-15$ .
Pour $x=3$ , avec l'expression de départ : $E=3(2\times3-5)+4\times3=3\times1+12=15$ .
Contrôle avec l'expression réduite : $10\times3-15=30-15=15$ . Les deux valeurs coïncident.

Pour $x=3$ , $E=15$ . La réduction $E=10x-15$ est confirmée par le contrôle.

Exercice 2 Produit de deux parenthèses

★☆☆Environ 5 min

Développe et réduis $F=(x+4)(x-3)$ , puis calcule la valeur de $F$ pour $x=5$ .

Indice 1

Il y a quatre produits à écrire : premier par premier, premier par second, etc.

Indice 2

Attention au signe du produit $4\times(-3)$ .

Voir la correction pas à pas

On multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde : $F=x\times x+x\times(-3)+4\times x+4\times(-3)$ .
On calcule : $F=x^2-3x+4x-12$ .
On réduit les termes en $x$ : $-3x+4x=x$ . Donc $F=x^2+x-12$ .
Pour $x=5$ : $F=25+5-12=18$ .
Contrôle sur la forme factorisée : $(5+4)(5-3)=9\times2=18$ .

$F=x^2+x-12$ et, pour $x=5$ , $F=18$ .

Exercice 3 Un carré sans calculatrice

★☆☆Environ 4 min

Calcule mentalement $52^2$ en écrivant $52=50+2$ et en utilisant une identité remarquable.

Indice 1

Reconnais la forme $(a+b)^2$ avec $a=50$ et $b=2$ .

Indice 2

N'oublie pas le terme du milieu, le double produit $2ab$ .

Voir la correction pas à pas

On écrit $52^2=(50+2)^2$ .
On applique $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ avec $a=50$ et $b=2$ .
$a^2=2500$ , $2ab=2\times50\times2=200$ , $b^2=4$ .
On additionne : $2500+200+4=2704$ .

$52^2=$ 2704. Sans le double produit, on aurait trouvé 2504, un résultat trop petit de 200.

Exercice 4 Une astuce de calcul mental

★★☆Environ 5 min

Calcule $101\times99$ sans calculatrice, en reconnaissant une différence de deux carrés.

Indice 1

Cherche un nombre « au milieu » de 99 et 101.

Indice 2

Utilise $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ .

Voir la correction pas à pas

Le nombre situé au milieu de 99 et 101 est 100.
On écrit $101=100+1$ et $99=100-1$ .
Donc $101\times99=(100+1)(100-1)$ .
On applique $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ : $100^2-1^2=10000-1$ .
On obtient $9999$ .

$101\times99=$ 9999. Cette astuce marche pour tout produit de deux nombres symétriques autour d'un nombre rond.

Exercice 5 Factoriser avec un facteur commun

★★☆Environ 5 min

Factorise $G=6x^2+9x$ , puis calcule la valeur de $G$ pour $x=2$ à partir de la forme factorisée.

Indice 1

Cherche le plus grand nombre qui divise 6 et 9, et la plus grande puissance de $x$ commune aux deux termes.

Indice 2

Le facteur commun est de la forme $3x$ .

Voir la correction pas à pas

On écrit chaque terme avec le facteur commun : $6x^2=3x\times2x$ et $9x=3x\times3$ .
On met $3x$ en facteur : $G=3x(2x+3)$ .
Vérification en redéveloppant : $3x\times2x+3x\times3=6x^2+9x$ . C'est bien l'expression de départ.
Pour $x=2$ : $G=3\times2\times(2\times2+3)=6\times7=42$ .
Contrôle avec la forme de départ : $6\times4+9\times2=24+18=42$ .

$G=3x(2x+3)$ et, pour $x=2$ , $G=42$ .

Exercice 6 Équation avec $x$ des deux côtés

★★☆Environ 5 min

Résous l'équation $5x-7=3x+9$ .

Indice 1

Rassemble tous les termes en $x$ dans un membre et les nombres dans l'autre.

Indice 2

Soustrais $3x$ aux deux membres, puis ajoute 7.

Voir la correction pas à pas

On soustrait $3x$ aux deux membres : $5x-3x-7=9$ , soit $2x-7=9$ .
On ajoute 7 aux deux membres : $2x=16$ .
On divise les deux membres par 2 : $x=8$ .
Vérification : à gauche $5\times8-7=33$ ; à droite $3\times8+9=33$ . Les deux membres sont égaux.

La solution est $x=8$ .

Exercice 7 Équation produit nul

★★★Environ 6 min

Résous l'équation $(2x-6)(x+5)=0$ , puis donne la somme de ses solutions.

Indice 1

Un produit est nul quand l'un de ses facteurs est nul.

Indice 2

Résous séparément $2x-6=0$ et $x+5=0$ .

Voir la correction pas à pas

Le produit est nul si et seulement si $2x-6=0$ ou $x+5=0$ .
Première équation : $2x=6$ , donc $x=3$ .
Seconde équation : $x=-5$ .
L'ensemble des solutions est $\{-5\,;\,3\}$ .
Vérification pour $x=3$ : le premier facteur vaut $0$ . Pour $x=-5$ : le second facteur vaut $0$ . Dans les deux cas le produit est nul.
Somme des solutions : $3+(-5)=-2$ .

Les solutions sont $-5$ et $3$ ; leur somme vaut $-2$ .

Exercice 8 Différence de deux carrés à factoriser

★★★Environ 8 min

On pose $H=(2x+1)^2-(x-3)^2$ .

Factorise $H$ .
Calcule $H$ pour $x=2$ avec la forme factorisée.
Contrôle ce résultat avec l'expression de départ.

Indice 1

Reconnais la forme $A^2-B^2$ avec $A=2x+1$ et $B=x-3$ .

Indice 2

Dans chaque parenthèse du produit $(A-B)(A+B)$ , supprime soigneusement les parenthèses, surtout celles précédées d'un signe moins.

Voir la correction pas à pas

On pose $A=2x+1$ et $B=x-3$ . Alors $H=A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ .
Calcul de $A-B$ : $(2x+1)-(x-3)=2x+1-x+3=x+4$ .
Calcul de $A+B$ : $(2x+1)+(x-3)=3x-2$ .
Donc $H=(x+4)(3x-2)$ .
Pour $x=2$ : $H=(2+4)(3\times2-2)=6\times4=24$ .
Contrôle avec l'expression de départ : $(2\times2+1)^2-(2-3)^2=5^2-(-1)^2=25-1=24$ .

$H=(x+4)(3x-2)$ et, pour $x=2$ , $H=24$ . Les deux calculs concordent.

Exercice 9 Un rectangle d'aire donnée

★★★Environ 10 min

Un rectangle a pour longueur $(x+5)$ cm et pour largeur $(x-1)$ cm, avec $x>1$ . Son aire est égale à $91\ \text{cm}^2$ .

Écris l'aire sous forme développée.
Montre que le problème revient à résoudre $x^2+4x-96=0$ .
Vérifie que $(x-8)(x+12)=x^2+4x-96$ , puis résous l'équation.
Donne la valeur de $x$ qui convient.

Indice 1

Aire du rectangle = longueur × largeur : développe $(x+5)(x-1)$ .

Indice 2

Pour résoudre, utilise la forme factorisée et la règle du produit nul, puis garde seulement la solution compatible avec $x>1$ .

Voir la correction pas à pas

Aire : $(x+5)(x-1)=x^2-x+5x-5=x^2+4x-5$ .
On écrit que l'aire vaut 91 : $x^2+4x-5=91$ , donc $x^2+4x-96=0$ .
On développe $(x-8)(x+12)=x^2+12x-8x-96=x^2+4x-96$ . L'égalité est vérifiée.
L'équation devient $(x-8)(x+12)=0$ : produit nul, donc $x-8=0$ ou $x+12=0$ .
On obtient $x=8$ ou $x=-12$ .
La condition $x>1$ élimine $-12$ (une longueur ne peut pas être négative).
Contrôle : pour $x=8$ , longueur $13$ cm, largeur $7$ cm, aire $13\times7=91\ \text{cm}^2$ .

Seule la valeur $x=8$ convient : le rectangle mesure 13 cm sur 7 cm. Garder la solution négative serait une erreur fréquente : on contrôle toujours une solution dans le contexte du problème.

Les questions qu'on se pose

Faut-il toujours développer ou toujours factoriser ?

Non, le choix dépend de l'objectif. On développe pour obtenir une somme de termes qu'on peut réduire ou comparer. On factorise pour obtenir un produit, ce qui sert à résoudre une équation du type produit nul ou à étudier un signe. Avant de te lancer, demande-toi : « qu'est-ce que je veux obtenir à la fin ? »

Comment être sûr de ne pas m'être trompé dans un calcul littéral ?

Remplace $x$ par une petite valeur simple, comme 0, 1 ou 2, dans l'expression de départ et dans celle d'arrivée. Si les deux nombres diffèrent, il y a une erreur. S'ils sont égaux, ce n'est pas une preuve absolue, mais c'est un très bon test ; avec deux valeurs différentes, tu écartes presque toutes les erreurs de signe.

Pourquoi ces automatismes reviennent-ils tout au long de l'année de seconde ?

Parce qu'ils servent dans de nombreux chapitres : fonctions, équations, inéquations, géométrie repérée. Le programme de seconde y fait appel notamment pour trouver l'ensemble des solutions d'une équation ou d'une inéquation.¹ Si ces gestes sont rapides, tu gardes ton attention pour comprendre le problème lui-même.

Sources

Ressources d'accompagnement - Automatismes (Seconde GT), Éduscol. Consulté le 9 novembre 2026.
Ressources d'accompagnement - Calcul littéral et équations (Seconde GT), Éduscol. Consulté le 9 novembre 2026.

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L'essentiel

Comment utiliser ces exercices

Les exercices

Exercice 1 Développer et réduire

Exercice 2 Produit de deux parenthèses

Exercice 3 Un carré sans calculatrice

Exercice 4 Une astuce de calcul mental

Exercice 5 Factoriser avec un facteur commun

Exercice 6 Équation avec $x$ des deux côtés

Exercice 7 Équation produit nul

Exercice 8 Différence de deux carrés à factoriser

Exercice 9 Un rectangle d'aire donnée

Les questions qu'on se pose

Sources

Primaire

Collège

Lycée

Supérieur