Choix d'investissement : exercices corrigés de Terminale STMG

On repère les dépenses liées au projet : le four (48 000 €), l'installation (3 500 €) et la formation (1 500 €). Toutes sont nécessaires pour exploiter l'équipement.

On les additionne : $48\,000 + 3\,500 + 1\,500 = 53\,000$.

On conclut : le coût d'investissement à retenir est de 53 000 €, et c'est ce montant qui servira de $I_0$ dans les calculs de VAN et de délai de récupération.

On calcule les flux cumulés : fin d'année 1, 30 000 € ; fin d'année 2, $30\,000+35\,000=65\,000$ € ; fin d'année 3, $65\,000+40\,000=105\,000$ €.

Le cumul dépasse 90 000 € pendant l'année 3. Au bout de 2 ans, il manque encore $90\,000-65\,000=25\,000$ €.

L'année 3 rapporte 40 000 € : la part de l'année nécessaire est $\dfrac{25\,000}{40\,000}=0{,}625$ an.

Le délai de récupération est donc $2+0{,}625=2{,}625$ ans, soit 2 ans et 7 mois et demi environ ($0{,}625 \times 12 = 7{,}5$ mois).

On actualise le flux de l'année 1 : $\dfrac{40\,000}{1{,}06}\approx 37\,735{,}85$ €.

On actualise le flux de l'année 2 : $\dfrac{40\,000}{1{,}06^2}=\dfrac{40\,000}{1{,}1236}\approx 35\,599{,}86$ €.

On actualise le flux de l'année 3 : $\dfrac{40\,000}{1{,}06^3}=\dfrac{40\,000}{1{,}191016}\approx 33\,584{,}77$ €.

On additionne les valeurs actuelles : $37\,735{,}85+35\,599{,}86+33\,584{,}77\approx 106\,920{,}48$ €. Le calcul direct avec le coefficient donne le même résultat : $40\,000\times 2{,}673012\approx 106\,920{,}48$ €.

On retranche le coût initial : $\text{VAN}=106\,920{,}48-100\,000\approx 6\,920{,}48$ €.

La VAN est positive : le projet rapporte plus que le taux exigé de 6 %.

On calcule $1{,}12^3=1{,}404928$, donc $1{,}12^{-3}\approx 0{,}711780$.

On en déduit le coefficient : $\dfrac{1-0{,}711780}{0{,}12}\approx 2{,}401831$.

On actualise les flux : $4\,000\times 2{,}401831\approx 9\,607{,}33$ €.

On calcule la VAN : $9\,607{,}33-10\,000\approx -392{,}67$ €.

La VAN est négative : au taux de 12 %, le projet ne rapporte pas assez pour compenser le coût du capital.

On identifie les flux par date : année 1 : 25 000 € ; année 2 : 30 000 € ; année 3 : $35\,000+10\,000=45\,000$ € (flux d'exploitation et revente).⁴

On actualise l'année 1 : $\dfrac{25\,000}{1{,}08}\approx 23\,148{,}15$ €.

On actualise l'année 2 : $\dfrac{30\,000}{1{,}1664}\approx 25\,720{,}16$ €.

On actualise l'année 3 : $\dfrac{45\,000}{1{,}259712}\approx 35\,722{,}45$ €.

On additionne : $23\,148{,}15+25\,720{,}16+35\,722{,}45\approx 84\,590{,}76$ €.

On retranche le coût initial : $84\,590{,}76-80\,000\approx 4\,590{,}76$ €.

Délai de récupération de A : cumul 25 000 € après 1 an ; il manque 15 000 €, soit $\dfrac{15\,000}{25\,000}=0{,}6$ an. Délai : 1,6 an.

Délai de récupération de B : cumul 35 000 € après 1 an ; il manque 25 000 €, soit $\dfrac{25\,000}{35\,000}\approx 0{,}714$ an. Délai : environ 1,71 an.

Coefficient d'actualisation : $\dfrac{1}{1{,}1}+\dfrac{1}{1{,}21}\approx 0{,}909091+0{,}826446=1{,}735537$.

VAN de A : $25\,000\times 1{,}735537-40\,000\approx 43\,388{,}43-40\,000=3\,388{,}43$ €.

VAN de B : $35\,000\times 1{,}735537-60\,000\approx 60\,743{,}80-60\,000=743{,}80$ €.

Décision : les deux VAN sont positives, donc les deux projets créent de la valeur, mais la VAN de A est la plus élevée, et son délai de récupération est aussi le plus court. On retient la machine A.

On pose la condition : $\text{VAN}=0 \iff F\times \dfrac{1-1{,}06^{-4}}{0{,}06}=120\,000$.

On calcule $1{,}06^4=1{,}26247696$, donc $1{,}06^{-4}\approx 0{,}792094$.

On en déduit le coefficient : $\dfrac{1-0{,}792094}{0{,}06}\approx 3{,}465106$.

On isole $F$ : $F=\dfrac{120\,000}{3{,}465106}\approx 34\,630{,}98$ €.

On interprète : en dessous de ce flux annuel, la valeur actuelle des flux est inférieure à 120 000 € et la VAN devient négative ; au-dessus, elle est positive.