Les modèles démographiques : cours de Terminale

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Un modèle mathématique sert à prédire l'évolution d'un système ; il se choisit, se calibre sur des données et a un périmètre de validité limité.¹
Modèle linéaire : la grandeur augmente de la même quantité à chaque palier, $u_n = u_0 + n r$ ; son nuage de points s'ajuste par une droite.¹
Modèle exponentiel : la grandeur est multipliée par le même coefficient à chaque palier, $u_n = u_0 q^n$ ; c'est le modèle de Malthus.¹
Pour choisir : on regarde si les écarts sont constants (linéaire) ou si les rapports sont constants (exponentiel).
Un modèle ne dit pas le futur : il donne un scénario valable tant que ses hypothèses tiennent.³

Pourquoi modéliser une population ?

Combien d'habitants aura une ville dans vingt ans ? Combien de places faudra-t-il dans les écoles, combien de retraités faudra-t-il financer ? Pour répondre, on ne peut pas attendre que l'avenir arrive. On construit alors un modèle : une description mathématique simplifiée de la réalité, que l'on peut calculer et comparer aux observations.

Les scientifiques utilisent en effet des modèles mathématiques pour prédire l'évolution d'un système quelconque.¹ L'exemple historique de Malthus sert à montrer concrètement comment on met en œuvre cette démarche.¹ Ce chapitre s'inscrit dans l'histoire du vivant : après avoir vu la biodiversité, l'évolution et l'évolution humaine, on s'intéresse maintenant à une question quantitative, celle de l'évolution de l'effectif d'une population.

Le démographe analyse comment ces phénomènes varient dans le temps et dans l'espace, selon les milieux socio-économiques et culturels.³ Une partie de son travail consiste à bâtir des modèles, c'est-à-dire des outils de calcul qui permettent d'établir des projections.

L'étude de ces modèles poursuit un but de formation précis : faire saisir la nature d'un modèle mathématique et la manière de s'en servir, depuis le choix du modèle jusqu'au calibrage et à la définition de son périmètre.¹ C'est donc autant une leçon de méthode qu'une leçon de démographie.

Qu'est-ce qu'un modèle mathématique ?

Un modèle n'est ni vrai ni faux au sens strict : il est plus ou moins adapté à la situation étudiée. Une carte routière ne montre pas chaque arbre, et c'est ce qui la rend utile. De même, un modèle démographique ne décrit pas chaque naissance ou chaque décès : il résume l'évolution de l'effectif par une formule simple.

Dans un modèle démographique, on suit en général un effectif (le nombre d'individus) à intervalles réguliers : chaque année, chaque décennie, chaque génération. On parle de grandeur discrète, repérée par un palier entier $n$ : $n=0$ pour l'état initial, $n=1$ pour le premier palier, et ainsi de suite.¹ L'effectif au palier $n$ se note $u_n$ .

Le modèle linéaire

Quand les valeurs observées progressent d'à peu près autant à chaque palier, le programme autorise à faire passer une droite au plus près des points du nuage : on obtient le modèle linéaire.¹

Le modèle exponentiel et l'exemple de Malthus

Lorsque l'on constate que le rapport entre deux valeurs consécutives reste à peu près constant, on peut ajuster le nuage de points par un modèle exponentiel.¹ C'est précisément ce que fait le modèle démographique de Malthus : il s'agit d'un modèle exponentiel d'évolution de l'effectif d'une population.¹

Modèle linéaire et modèle exponentiel · Modèle linéaire : 100 + 20n. Modèle exponentiel : 100 × 1,2^n.

Comparer les deux modèles : choisir et calibrer

Au départ, une droite et une exponentielle peuvent sembler proches. Elles s'écartent ensuite de plus en plus. Voici deux populations qui partent de 100 individus : l'une gagne 20 individus par palier (modèle linéaire), l'autre est multipliée par 1,2 à chaque palier (modèle exponentiel).

Valeurs des deux modèles
Palier n	Linéaire (100 + 20n)	Exponentiel (100 × 1,2^n)
0	100	100
2	140	144
5	200	249
10	300	619

Valeurs des deux modèles

Au palier 10, le modèle linéaire donne 300 individus et le modèle exponentiel environ 619. Pour de petits $n$ , l'écart est faible ; pour de grands $n$ , il devient énorme. C'est pourquoi le choix du modèle pèse lourd sur une prévision à long terme.

Résoudre des questions avec un modèle exponentiel

Une fois le modèle calibré, on s'en sert de deux façons : calculer l'effectif à un palier donné, ou chercher à quel palier un seuil est atteint.

Limites des modèles et usages de la démographie

Un modèle exponentiel prévoit une croissance sans fin : au bout de quelques siècles, il annoncerait des effectifs absurdes. Aucune population réelle ne peut croître indéfiniment, car les ressources, les conditions de vie et les comportements évoluent. C'est la question du périmètre de validité : sur quelle durée et dans quelles conditions le modèle reste-t-il crédible ?

Cette idée est au cœur de la démarche de modélisation : choisir, calibrer, puis délimiter le périmètre d'usage.¹

L'histoire récente montre à quel point l'évolution d'une population peut s'accélérer. La population de la planète a fortement grimpé depuis la révolution industrielle, avec les avancées de la médecine. Au XXe siècle, cette hausse s'est muée en explosion démographique : jusqu'à un milliard de personnes en plus en douze ans, surtout dans les pays du Sud.³ Une telle évolution n'est plus décrite par une simple droite : un modèle exponentiel offre alors une première approximation, valable seulement sur une période limitée.

Les prévisions démographiques ont des conséquences concrètes. La démographie se trouve au centre des politiques de population, des politiques d'immigration et des politiques sociales de nombreux pays.³ Pour prévoir leurs dépenses, les régimes d'assurances sociales doivent estimer combien il y aura de jeunes, d'actifs et de retraités ; cette estimation s'appuie sur les taux de natalité, de mortalité et de fécondité.³

En France, un établissement public est consacré à ces recherches : l'Institut national d'études démographiques (Ined), créé par l'ordonnance du 24 octobre 1945.⁴ Depuis le décret de 1986, l'objectif nataliste des débuts a disparu : l'institut fait avancer la science démographique, partage ses travaux et renseigne le public, dans l'idée de servir le progrès économique et social.⁴

Erreurs fréquentes et conseils de rédaction

ObserverRelever les données et tracer le nuage de points.
ChoisirDifférences constantes ou quotients constants ?
CalibrerCalculer r ou q, puis écrire la formule.
ValiderPrévoir, comparer, fixer le périmètre de validité.

La démarche de modélisation

Modèles démographiques

Modèle
- Choisir
- Calibrer
- Périmètre
Linéaire
- Différence r
- Droite
- u0 + n r
Exponentiel
- Quotient q
- Malthus
- u0 q^n
Usages
- Scénarios
- Retraites
- Ined

Les modèles démographiques en un coup d'œil

Exercices corrigés

Exercice 1 Une commune qui grandit régulièrement

★☆☆Environ 8 min

Une ville compte 50 000 habitants à la date initiale. On observe qu'elle gagne environ 1 200 habitants par an. On la modélise par un modèle linéaire, avec $n$ le nombre d'années écoulées.

Donne l'expression de $u_n$ .
Calcule l'effectif prévu au bout de 10 ans.

Indice 1

Un gain constant par palier correspond à un accroissement $r$ .

Indice 2

Utilise $u_n = u_0 + n r$ .

Voir la correction pas à pas

On identifie le modèle : le gain annuel est constant, donc le modèle est linéaire avec $u_0 = 50000$ et $r = 1200$ .
On écrit la formule : $u_n = 50000 + 1200 n$ .
On remplace $n$ par 10 : $u_{10} = 50000 + 1200 \times 10 = 62000$ .
On conclut : le modèle prévoit 62 000 habitants au bout de 10 ans.

Le modèle linéaire donne 62 000 habitants après 10 ans, à condition que le gain annuel reste le même.

Exercice 2 Une colonie qui croît de 5 % par an

★★☆Environ 10 min

Une population animale compte 2 000 individus. Elle augmente de 5 % par an. On la modélise par un modèle exponentiel.

Détermine le coefficient multiplicateur $q$ et écris $u_n$ .
Calcule l'effectif prévu après 6 ans, arrondi à l'entier.

Indice 1

Une hausse de 5 % revient à multiplier par $1 + 5/100$ .

Indice 2

Utilise $u_n = u_0 q^n$ et arrondis seulement à la fin.

Voir la correction pas à pas

On convertit le taux : $q = 1 + \dfrac{5}{100} = 1{,}05$ .
On écrit la formule : $u_n = 2000 \times 1{,}05^{\,n}$ .
On calcule $u_6 = 2000 \times 1{,}05^6 \approx 2680{,}19$ .
On arrondit à l'entier : environ 2 680 individus.

Après 6 ans, le modèle exponentiel prévoit environ 2 680 individus. Un modèle linéaire à +100 individus par an n'en donnerait que 2 600 : l'écart se creuse avec le temps.

Exercice 3 Quel coefficient multiplicateur ?

★★☆Environ 10 min

On relève un effectif de 1 000 individus au palier 0, de 1 100 au palier 1, de 1 210 au palier 2 et de 1 331 au palier 3.

Le modèle linéaire est-il adapté ? Justifie.
Montre qu'un modèle exponentiel convient et donne son coefficient $q$ .

Indice 1

Calcule les différences successives, puis les quotients successifs.

Indice 2

Pour retrouver $q$ à partir de $u_0$ et $u_3$ , cherche le nombre dont le cube vaut $1331/1000$ .

Voir la correction pas à pas

Différences : $1100-1000 = 100$ , $1210-1100 = 110$ , $1331-1210 = 121$ . Elles ne sont pas constantes : le modèle linéaire n'est pas adapté.
Quotients : $1100/1000 = 1{,}1$ , $1210/1100 = 1{,}1$ , $1331/1210 = 1{,}1$ . Ils sont constants.
On en déduit que le modèle exponentiel convient avec $q = 1{,}1$ et $u_n = 1000 \times 1{,}1^{\,n}$ .
Vérification : $1{,}1^3 = 1{,}331$ , donc $u_3 = 1331$ , ce qui correspond à la donnée.

Les quotients sont constants et valent 1,1 : la population croît de 10 % par palier, modèle exponentiel de coefficient $q = 1{,}1$ .

Exercice 4 Discuter la validité d'une prévision

★★★Environ 12 min

Avec le modèle $u_n = 1000 \times 1{,}02^{\,n}$ ( $n$ en années), un élève affirme : « dans 400 ans, la population sera d'environ 2,75 millions d'individus, donc c'est sûr ».

Vérifie l'ordre de grandeur du calcul.
Rédige trois phrases qui discutent le périmètre de validité du modèle.

Indice 1

Utilise la calculatrice pour $1{,}02^{400}$ : l'ordre de grandeur est de plusieurs milliers.

Indice 2

Pense aux hypothèses : même taux pendant 400 ans, mêmes conditions de vie, mêmes ressources.

Voir la correction pas à pas

On calcule $1{,}02^{400} \approx 2{,}75 \times 10^3$ , donc $u_{400} \approx 2{,}75 \times 10^6$ : le calcul est exact, la population vaudrait environ 2,75 millions.
Le modèle suppose que le taux de 2 % reste identique pendant 400 ans, ce qui est très improbable.
La prévision est donc un scénario tendanciel : elle dit ce qui arriverait si les hypothèses tenaient, pas ce qui arrivera.
On conclut que le modèle n'est crédible que sur une période courte, tant que les conditions restent proches de celles de la calibration.

Le calcul est juste mais la conclusion « c'est sûr » est fausse : un modèle est valable dans un périmètre limité, et une prévision lointaine n'est qu'un scénario.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir s'il faut choisir un modèle linéaire ou exponentiel ?

Regarde l'évolution d'un palier à l'autre. Si l'écart reste constant, le modèle linéaire convient ; si le rapport entre deux valeurs consécutives reste constant, c'est le modèle exponentiel.¹ Le nuage de points aide aussi : des points alignés suggèrent une droite, une courbe qui s'accélère suggère une exponentielle.

À quoi sert un modèle démographique dans la vie réelle ?

Il aide à anticiper. Estimer combien il y aura de jeunes, d'actifs et de retraités permet par exemple de préparer le financement des assurances sociales.³ Ces projections éclairent aussi les politiques de population et d'immigration.³

Un modèle peut-il être faux ?

Un modèle est une simplification : il est plus ou moins adapté. Le modèle linéaire est par exemple inadapté pour certaines évolutions.¹ Un modèle devient trompeur quand on l'utilise hors de son périmètre ou sans tester ses prévisions sur des données réelles.

Faut-il apprendre les valeurs historiques liées à Malthus ?

Ce qui compte au programme, c'est de savoir que le modèle de Malthus est un modèle exponentiel d'évolution de l'effectif d'une population¹ et de savoir l'utiliser : reconnaître un coefficient multiplicateur, écrire la formule, calculer une valeur et discuter la validité.

Que faire si les données ne sont ni exactement linéaires ni exactement exponentielles ?

C'est le cas général. On ajuste le nuage de points au mieux, par une droite ou par une exponentielle.¹ On choisit le modèle dont les différences ou les quotients sont les plus proches de la constante, puis on précise dans la réponse que le modèle est approché.

Sources

Ressource Éduscol — Modèles démographiques (Thème 3.4, Terminale voie générale), Éduscol — Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
Programmes et ressources en enseignement scientifique (page principale Éduscol), Éduscol — Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
Démographie, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Institut national d'études démographiques, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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L'essentiel

Pourquoi modéliser une population ?

Qu'est-ce qu'un modèle mathématique ?

Le modèle linéaire

Le modèle exponentiel et l'exemple de Malthus

Comparer les deux modèles : choisir et calibrer

Résoudre des questions avec un modèle exponentiel

Limites des modèles et usages de la démographie

Erreurs fréquentes et conseils de rédaction

Exercices corrigés

Exercice 1 Une commune qui grandit régulièrement

Exercice 2 Une colonie qui croît de 5 % par an

Exercice 3 Quel coefficient multiplicateur ?

Exercice 4 Discuter la validité d'une prévision

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