Modèles démographiques : exercices corrigés de Terminale

Identifier les données : $u_0 = 2000$ et $r = 45$ habitants par an.

Compter les paliers : de 2020 à 2030, $n = 10$ années.

Écrire la formule du modèle linéaire : $u_{10} = u_0 + 10 \times r$.

Calculer : $u_{10} = 2000 + 10 \times 45 = 2000 + 450 = 2450$.

Identifier les données : $u_0 = 1000$ et $t = 5\,\%$ par semaine.

Calculer le coefficient multiplicateur : $q = 1 + \dfrac{5}{100} = 1{,}05$.

Écrire la formule du modèle exponentiel : $u_3 = 1000 \times 1{,}05^3$.

Calculer : $1{,}05^3 = 1{,}157625$, donc $u_3 = 1157{,}625$.

Interpréter : un effectif est un nombre entier, on arrondit à 1 158 individus.

Calculer les différences : $120 - 100 = 20$, $140 - 120 = 20$, $160 - 140 = 20$.

Constater que les différences sont égales : le nuage de points s'ajuste par une droite, donc le modèle linéaire convient.

Lire l'ajout par palier : $r = 20$ habitants tous les cinq ans.

Calculer les différences : $500 - 400 = 100$ et $625 - 500 = 125$. Elles ne sont pas égales.

Calculer les quotients : $\dfrac{500}{400} = 1{,}25$ et $\dfrac{625}{500} = 1{,}25$. Ils sont égaux.

Choisir le modèle : l'effectif est multiplié par le même nombre à chaque palier, donc le modèle exponentiel convient.

Convertir en taux : $q = 1{,}25$ donc le taux vaut $(1{,}25 - 1) \times 100 = 25\,\%$ par décennie.

Calculer l'augmentation totale entre les deux relevés : $8600 - 8000 = 600$ habitants.

Diviser par le nombre d'années : $r = \dfrac{600}{5} = 120$ habitants par an. C'est le calibrage du modèle : on fixe son paramètre à partir des données.

Compter les paliers de 2010 à 2030 : $n = 20$.

Calculer : $u_{20} = 8000 + 20 \times 120 = 8000 + 2400 = 10400$.

Critiquer : la prévision prolonge une tendance observée sur cinq ans seulement vers vingt ans ; elle sort du cadre où le modèle a été vérifié.

Écrire le modèle : $u_n = 2000 \times 1{,}1^n$.

Traduire la question : on cherche le plus petit entier $n$ tel que $2000 \times 1{,}1^n > 4000$, c'est-à-dire $1{,}1^n > 2$.

Tester : $1{,}1^7 \approx 1{,}949$, qui est inférieur à 2, donc $n = 7$ ne suffit pas.

Tester : $1{,}1^8 \approx 2{,}144$, qui est supérieur à 2, donc $n = 8$ convient.

Vérifier l'effectif : $u_8 \approx 2000 \times 2{,}144 \approx 4287$.

Écrire les formules : $A_n = 5000 + 300\,n$ et $B_n = 3000 \times 1{,}08^n$.

Calculer à $n = 10$ : $A_{10} = 5000 + 3000 = 8000$ et $B_{10} = 3000 \times 1{,}08^{10} \approx 6477$. La ville A est encore la plus peuplée.

Calculer à $n = 30$ : $A_{30} = 5000 + 9000 = 14000$.

Calculer $B_{30} = 3000 \times 1{,}08^{30} \approx 3000 \times 10{,}0627 \approx 30188$.

Faire la différence : $B_{30} - A_{30} \approx 30188 - 14000 = 16188$.

Interpréter : la ville B, partie plus bas, a largement dépassé la ville A.

Écrire les modèles : $P_k = 1 \times 2^k$ (exponentiel, $q = 2$) et $R_k = 4 + k$ (linéaire, $r = 1$).

Calculer pour $k = 0$ : $P_0 = 1$ et $R_0 = 4$. La capacité est supérieure.

Calculer pour $k = 1$ : $P_1 = 2$ et $R_1 = 5$ ; pour $k = 2$ : $P_2 = 4$ et $R_2 = 6$. La capacité reste supérieure.

Calculer pour $k = 3$ : $P_3 = 8$ et $R_3 = 7$. L'effectif dépasse la capacité.

Convertir en années : $3 \times 25 = 75$ ans.

Vérifier le calcul : $1{,}03^{100} \approx 19{,}2$, donc le facteur 19 est exact au sens mathématique du modèle.

Discuter le choix : rien ne prouve qu'une croissance à pourcentage constant décrive le pays sur un siècle ; le modèle exponentiel a été retenu parce qu'il ajuste bien les données observées, pas parce qu'il est vrai pour toujours.

Discuter le calibrage : le 3 % a été déterminé à partir de relevés passés ; si ces relevés couvrent peu d'années, le paramètre est fragile.

Discuter le périmètre : un modèle n'est utilisable que dans une zone de validité (durée, population concernée) ; 100 ans dépassent sans doute ce que les données autorisent.

Proposer une démarche prudente : construire plusieurs scénarios (tendanciel, alternatif, de rupture) plutôt qu'une seule courbe, et réviser le modèle quand de nouvelles données arrivent.