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Circuit RC et charge du condensateur : cours de Terminale

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Un circuit RC série associe une résistance et un condensateur ; sa constante de temps est $\tau = R\,C$ , exprimée en secondes ².
Pendant la charge, $u_C$ obéit à $\tau\,\dfrac{du_C}{dt}+u_C=E$ , dont la solution est $u_C(t)=E\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ .
Au fil du temps, $u_C$ se rapproche de la tension $E$ du générateur pendant que $u_R$ s'approche de 0 ².
À $t=\tau$ , $u_C\approx 0{,}63\,E$ ; à $t=5\tau$ , $u_C\approx 0{,}99\,E$ : le condensateur est pratiquement chargé ¹.
L'intensité est maximale à $t=0$ ( $i_0=E/R$ ) puis décroît vers 0 : $u_C$ est continue, $i$ ne l'est pas.

Introduction : pourquoi un condensateur ne se charge pas instantanément

Quand tu appuies sur le bouton d'un flash d'appareil photo, la lumière ne part pas immédiatement : il faut attendre quelques instants que le dispositif accumule de l'énergie. Derrière cette attente se cache un composant, le condensateur, et un phénomène que tu dois savoir modéliser en Terminale : sa charge à travers une résistance.

Un condensateur est un composant capable de stocker puis de restituer des charges électriques ¹. Il est caractérisé par sa capacité $C$ , exprimée en farads (F) ¹. Dans le cours précédent, tu as vu la relation entre charge et tension d'un condensateur. Ici, on ajoute une résistance en série et on étudie comment la tension évolue au cours du temps.

Quand on place une résistance et un condensateur l'un derrière l'autre dans une même branche, on obtient un circuit RC série ¹. Ce montage sert dans toute l'électronique analogique : filtrage, temporisation, régulation du courant ³. Grâce à lui, les variations de tension sont atténuées et les parasites électriques sont supprimés ³.

Dans ce cours, tu vas :

établir l'équation différentielle vérifiée par la tension $u_C(t)$ ;
la résoudre et interpréter la solution ;
définir et exploiter la constante de temps $\tau$ ;
apprendre à lire la courbe et à utiliser des méthodes de détermination de $\tau$ ;
repérer les erreurs fréquentes du bac.

Le montage et les grandeurs en jeu

On étudie la situation suivante, classique au bac : à l'instant $t=0$ , on ferme l'interrupteur. Le condensateur est initialement déchargé : $u_C(0)=0$ ¹. Il se charge alors à travers la résistance.

Les grandeurs à connaître :

Grandeur	Symbole	Unité
Tension du générateur	$E$	volt (V)
Résistance	$R$	ohm ( $\Omega$ )
Capacité	$C$	farad (F)
Tension aux bornes du condensateur	$u_C(t)$	volt (V)
Tension aux bornes de la résistance	$u_R(t)$	volt (V)
Intensité du courant	$i(t)$	ampère (A)
Charge portée par l'armature	$q(t)$	coulomb (C)

Établir l'équation différentielle de la charge

Pour connaître la tension aux bornes d'un condensateur pendant sa charge ou sa décharge, on résout une équation différentielle du premier ordre qui relie l'intensité à cette tension ³. Voyons comment obtenir celle de la charge.

Démonstration · Équation différentielle vérifiée par u_C

Étape 1 : loi des mailles. La somme des tensions dans la maille est égale à la tension du générateur :

$E = u_R + u_C$

Étape 2 : loi d'Ohm. Pour la résistance : $u_R = R\,i$ . On obtient :

$E = R\,i + u_C$

Étape 3 : relation du condensateur. On a $q = C\,u_C$ et $i=\dfrac{dq}{dt}$ . Comme $C$ est constante :

$i = C\,\frac{du_C}{dt}$

Étape 4 : substitution. On remplace $i$ dans la loi des mailles :

$E = R\,C\,\frac{du_C}{dt} + u_C$

Soit, en posant $\tau = R\,C$ :

$\boxed{\tau\,\frac{du_C}{dt} + u_C = E}$

C'est une équation différentielle linéaire du premier ordre, à coefficients constants, avec second membre constant.

Démonstration · Vérifier que τ est bien un temps

Dimensionnellement, $R=\dfrac{U}{I}$ et $C=\dfrac{Q}{U}$ . Donc $R\,C=\dfrac{U}{I}\times\dfrac{Q}{U}=\dfrac{Q}{I}$ . Or $I=\dfrac{Q}{t}$ , donc $\dfrac{Q}{I}=t$ : le produit $R\,C$ a bien la dimension d'un temps. Le résultat $1\ \Omega\times 1\ \text{F}=1\ \text{s}$ est un contrôle rapide de ton résultat.

Résoudre l'équation et interpréter la solution

Démonstration · Résolution pas à pas

Solution générale. Elle est la somme de la solution de l'équation sans second membre et d'une solution particulière.

Équation sans second membre : $\tau\,u'+u=0$ , soit $u'=-\dfrac{1}{\tau}u$ . Les solutions sont $A\,e^{-t/\tau}$ avec $A$ une constante.
Solution particulière constante : si $u_C=k$ alors $u'=0$ et $k=E$ .

Donc $u_C(t)=A\,e^{-t/\tau}+E$ .

Condition initiale. À $t=0$ , $u_C(0)=0$ : $A+E=0$ , d'où $A=-E$ .

$u_C(t)=E-E\,e^{-t/\tau}=E\left(1-e^{-t/\tau}\right)$

Vérification. On dérive : $\dfrac{du_C}{dt}=\dfrac{E}{\tau}e^{-t/\tau}$ . Alors $\tau\,\dfrac{du_C}{dt}+u_C=E\,e^{-t/\tau}+E-E\,e^{-t/\tau}=E$ . L'équation est bien vérifiée.

Interprétons les valeurs aux deux extrémités du temps.

À $t=0$ . On trouve $u_C(0)=0$ , $u_R(0)=E$ et $i(0)=\dfrac{E}{R}$ . Le condensateur déchargé se comporte comme un fil : toute la tension du générateur est appliquée à la résistance et l'intensité est maximale.

Quand $t$ devient très grand. L'exponentielle tend vers 0 : $u_C\to E$ , $u_R\to 0$ et $i\to 0$ . Le régime permanent est atteint : plus aucun courant ne circule, et le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert. On retrouve cette idée quand le montage reçoit un échelon de tension : le condensateur se charge vite et peut alors être assimilé à un circuit ouvert ².

La constante de temps : lire la courbe et déterminer τ

La constante de temps mesure la rapidité de la charge. Pour te repérer, il est commode de calculer $u_C$ pour des multiples de $\tau$ . Le tableau suivant donne le pourcentage de $E$ atteint par $u_C$ .

Fraction de E atteinte par u_C
Instant t	u_C / E	Pourcentage de E
τ	0,632	environ 63 %
2τ	0,865	environ 86 %
3τ	0,950	environ 95 %
5τ	0,993	environ 99 %

Fraction de E atteinte par u_C

Le dernier résultat est celui que l'on retient en pratique : à $t=5\tau$ , la tension aux bornes du condensateur vaut environ 99 % de $E$ , donc le condensateur est pratiquement chargé ¹. On dit souvent que la durée de charge est d'environ $5\tau$ .

Charge d'un condensateur : u_C en fonction du temps · Temps en unités de τ ; tension en volts pour E = 5 V.

Sur cette représentation, le temps est exprimé en unités de $\tau$ et la tension en volts pour $E=5\ \text{V}$ . Remarque les trois caractéristiques de la courbe : elle part de l'origine, elle croît en étant de plus en plus « aplatie », et elle admet une asymptote horizontale d'équation $u_C=E$ .

Influence de R et de C, énergie et bilan

Puisque $\tau = R\,C$ ², on peut prévoir qualitativement l'effet des composants sur la charge.

Si on augmente $R$ , la résistance limite davantage le courant : le condensateur se charge plus lentement, $\tau$ augmente.
Si on augmente $C$ , il faut accumuler plus de charge pour atteindre la même tension : la charge est plus longue, $\tau$ augmente.
La valeur finale $E$ ne dépend ni de $R$ ni de $C$ . Seule la vitesse pour y arriver change.
L'intensité initiale $E/R$ dépend de $R$ mais pas de $C$ .

Applications : filtre passe-bas, temporisation et méthode de rédaction

Le circuit RC n'est pas qu'un exercice : c'est une brique de base de l'électronique. Si l'on prélève la tension de sortie aux bornes du condensateur, le montage joue le rôle d'un filtre passe-bas : il laisse passer les signaux lents et affaiblit les signaux rapides ². Quand la fréquence est élevée, le condensateur ne parvient pas à se charger : sa tension reste petite ². Quand la fréquence est basse, il a le temps d'atteindre presque sa charge maximale ².

Ce lien est naturel : la charge d'un condensateur demande un temps de l'ordre de $\tau$ . Si le signal varie beaucoup plus vite que $\tau$ , le condensateur « n'a pas le temps de suivre ».

Des condensateurs servent aussi à démarrer des moteurs électriques, par exemple dans des compresseurs de réfrigérateur ou des machines à laver : ils aident à fournir le couple initial ³. La charge et la décharge d'un condensateur sont également exploitées pour filtrer et réguler le courant ³. Le chapitre suivant, sur les capteurs capacitifs, réutilisera ces idées.

SchémaOriente le courant, u_R et u_C.
MaillesÉcris E = u_R + u_C.
ÉquationUtilise u_R = R i et i = C du_C/dt.
SolutionApplique la condition initiale u_C(0) = 0.
InterpréterCalcule τ, vérifie les unités, conclus.

Méthode : traiter la charge d'un circuit RC

ExempleExercice type rédigé

Énoncé. Un condensateur de capacité $C=470\ \mu\text{F}$ , initialement déchargé, est branché en série avec un conducteur ohmique de résistance $R=2{,}2\ \text{k}\Omega$ et un générateur de tension $E=12\ \text{V}$ . On ferme l'interrupteur à $t=0$ .

Questions. Calculer $\tau$ , l'intensité initiale et la durée de charge approximative.

Résolution.

$\tau=R\,C=2{,}2\times10^{3}\times470\times10^{-6}\approx 1{,}03\ \text{s}$ .
À $t=0$ , $u_C=0$ donc $u_R=E$ et $i(0)=\dfrac{E}{R}=\dfrac{12}{2{,}2\times10^{3}}\approx 5{,}5\times10^{-3}\ \text{A}=5{,}5\ \text{mA}$ .
La charge est pratiquement terminée à $5\tau\approx 5{,}2\ \text{s}$ ¹.

Exercices corrigés

Exercice 1 Constante de temps et intensité initiale

★☆☆Environ 10 min

Un condensateur de capacité $C=100\ \mu\text{F}$ , initialement déchargé, est relié en série à un conducteur ohmique de résistance $R=10\ \text{k}\Omega$ et à un générateur de tension continue $E=6{,}0\ \text{V}$ .

Calcule la constante de temps $\tau$ du circuit, en secondes.

Indice 1

Convertis $C$ en farads et $R$ en ohms avant de multiplier.

Indice 2

La constante de temps est le produit $R\,C$ .

Voir la correction pas à pas

On écrit la définition : $\tau=R\,C$ .
On convertit : $R=10\times10^{3}\ \Omega$ et $C=100\times10^{-6}\ \text{F}=1{,}0\times10^{-4}\ \text{F}$ .
On calcule : $\tau=10^{4}\times10^{-4}=1{,}0\ \text{s}$ .

La constante de temps vaut $\tau=1{,}0\ \text{s}$ . Le condensateur sera pratiquement chargé après environ 5 s.

Exercice 2 Tension à t = τ

★★☆Environ 12 min

On reprend un circuit RC série sous $E=12\ \text{V}$ , avec $u_C(0)=0$ . On admet que $u_C(t)=E\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ .

Calcule la valeur de $u_C$ , en volts, à l'instant $t=\tau$ .

Indice 1

Remplace $t$ par $\tau$ dans l'exponentielle : que devient $t/\tau$ ?

Indice 2

Utilise $e^{-1}\approx 0{,}368$ ou ta calculatrice.

Voir la correction pas à pas

On remplace $t$ par $\tau$ : $u_C(\tau)=E\left(1-e^{-\tau/\tau}\right)=E\left(1-e^{-1}\right)$ .
On calcule $e^{-1}\approx 0{,}3679$ , donc $1-e^{-1}\approx 0{,}6321$ .
On multiplie : $u_C(\tau)=12\times0{,}6321\approx 7{,}585\ \text{V}$ .

À $t=\tau$ , $u_C\approx 7{,}6\ \text{V}$ , soit environ 63 % de $E$ . Ce résultat est indépendant de $R$ et de $C$ : il ne dépend que de la forme de la fonction.

Exercice 3 Temps pour atteindre 90 % de la charge

★★★Environ 15 min

Un circuit RC série a pour constante de temps $\tau=0{,}50\ \text{s}$ . Le condensateur est initialement déchargé et on applique une tension $E$ .

À quel instant $t_{90}$ (en secondes) la tension $u_C$ atteint-elle 90 % de $E$ ?

Indice 1

Écris l'équation $E\left(1-e^{-t/\tau}\right)=0{,}90\,E$ et simplifie par $E$ .

Indice 2

Isole l'exponentielle, puis applique le logarithme népérien.

Voir la correction pas à pas

On pose $1-e^{-t/\tau}=0{,}90$ , d'où $e^{-t/\tau}=0{,}10$ .
On applique $\ln$ : $-\dfrac{t}{\tau}=\ln(0{,}10)=-\ln 10$ , donc $t=\tau\ln 10$ .
Application numérique : $t_{90}=0{,}50\times2{,}303\approx 1{,}15\ \text{s}$ .

La tension atteint 90 % de $E$ au bout de $t_{90}\approx 1{,}15\ \text{s}$ , soit environ $2{,}3\,\tau$ . Ce temps est cohérent avec le fait que la charge est presque complète vers $5\tau$ .

Les questions qu'on se pose

Pourquoi le condensateur n'est-il jamais « complètement » chargé ?

Mathématiquement, $u_C(t)=E\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ n'atteint $E$ qu'à l'infini, car l'exponentielle ne s'annule jamais. En pratique, on considère la charge terminée vers $5\tau$ , où $u_C\approx 0{,}99\,E$ ¹. L'écart restant est inférieur à la précision des mesures usuelles.

Comment savoir si je dois utiliser l'équation en u_C ou en i ?

Regarde ce que l'énoncé demande. Pour la tension aux bornes du condensateur, utilise $\tau\,\dfrac{du_C}{dt}+u_C=E$ . Pour l'intensité, tu peux soit dériver $u_C$ ( $i=C\,du_C/dt$ ), soit résoudre $\tau\,\dfrac{di}{dt}+i=0$ avec $i(0)=E/R$ . La seconde équation a un second membre nul.

À quoi sert la constante de temps dans la vie réelle ?

Elle fixe la rapidité d'un montage. Dans un filtre RC dont la sortie est prise sur le condensateur, elle détermine quelles fréquences passent : les signaux lents traversent, les signaux rapides sont affaiblis ². Elle sert aussi à régler une temporisation, comme le délai de charge avant un déclenchement.

Quelle est la différence entre charge et décharge ?

Pendant la charge, la tension $u_C$ augmente de 0 vers $E$ . Pendant la décharge, un condensateur déjà chargé se vide à travers la résistance et sa tension décroît vers 0. La constante de temps est la même, mais la forme de la courbe est inversée. Dans les deux cas, on modélise la tension par une équation différentielle du premier ordre ³.

Qu'est-ce qui tombe le plus souvent au bac sur ce chapitre ?

On retrouve presque toujours : l'établissement de l'équation différentielle avec la loi des mailles, la vérification qu'une expression est solution, le calcul de $\tau$ , la détermination graphique de $\tau$ (point à 63 % ou tangente à l'origine) et l'interprétation de la courbe. Soigne les unités et les conversions de capacités.

Sources

TP 28 — Constante de temps τ d'un circuit RC, Académie de Guyane. Consulté le 6 novembre 2026.
Circuit RC, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Charge et décharge d'un condensateur, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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Introduction : pourquoi un condensateur ne se charge pas instantanément

Le montage et les grandeurs en jeu

Établir l'équation différentielle de la charge

Résoudre l'équation et interpréter la solution

La constante de temps : lire la courbe et déterminer τ

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Exercice 1 Constante de temps et intensité initiale

Exercice 2 Tension à t = τ

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