Circuit RC et charge du condensateur : exercices corrigés de Tle

On rappelle la relation : $\tau = R \times C$, produit des deux grandeurs du circuit ².

On convertit les données : $R = 10\ k\Omega = 1{,}0 \times 10^{4}\ \Omega$ et $C = 47\ \mu F = 47 \times 10^{-6}\ F$.

On calcule : $\tau = 1{,}0 \times 10^{4} \times 47 \times 10^{-6} = 0{,}47\ s$.

On vérifie l'ordre de grandeur : un résultat inférieur à la seconde est cohérent avec ces composants courants.

On part de $\tau = R \times C$ ² et on isole la capacité : $C = \dfrac{\tau}{R}$.

On convertit : $\tau = 2{,}2 \times 10^{-3}\ s$ et $R = 1{,}0 \times 10^{3}\ \Omega$.

On calcule : $C = \dfrac{2{,}2 \times 10^{-3}}{1{,}0 \times 10^{3}} = 2{,}2 \times 10^{-6}\ F$.

On exprime le résultat dans une unité pratique : $C = 2{,}2\ \mu F$.

Le condensateur est initialement déchargé ¹ : à $t = 0$, $u_C(0) = 0\ V$.

La loi des mailles donne $E = u_R + u_C$, donc $u_R(0) = 9{,}0\ V$ : toute la tension du générateur se trouve aux bornes de la résistance.

La loi d'Ohm donne $i(0) = \dfrac{u_R(0)}{R} = \dfrac{9{,}0}{3{,}0 \times 10^{3}} = 3{,}0 \times 10^{-3}\ A$.

On convertit : $i(0) = 3{,}0\ mA$.

On écrit le modèle de charge : $u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$.

À $t = \tau$, l'exposant vaut $-1$, donc $u_C(\tau) = E\left(1 - e^{-1}\right)$.

On calcule : $e^{-1} \approx 0{,}368$, donc $u_C(\tau) = 5{,}0 \times (1 - 0{,}368) \approx 3{,}16\ V$.

On compare à $E$ : $3{,}16 / 5{,}0 \approx 0{,}63$, soit environ 63 % de $E$.

Le condensateur n'est pratiquement chargé qu'à $5\tau$, où la tension vaut environ 99 % de $E$ ¹. À $t = \tau$, il ne l'est pas.

On rappelle le critère : à $t = 5\tau$, $u_C \approx 0{,}99\,E$, le condensateur est pratiquement chargé ¹.

On calcule la constante de temps : $\tau = RC = 1{,}0 \times 10^{4} \times 47 \times 10^{-6} = 0{,}47\ s$.

On multiplie : $5\tau = 5 \times 0{,}47 = 2{,}35\ s$.

On interprète : au bout d'environ 2,4 s, la tension du condensateur ne diffère plus de $E$ que de moins de 1 %.

On écrit le modèle : $u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$.

On calcule le rapport des durées, exprimées dans la même unité : $t/\tau = 3{,}0 / 2{,}0 = 1{,}5$.

On évalue l'exponentielle : $e^{-1{,}5} \approx 0{,}223$.

On remplace : $u_C = 12 \times (1 - 0{,}223) \approx 9{,}32\ V$.

On vérifie la cohérence : $9{,}32\ V$ est inférieur à $E = 12\ V$ et supérieur à la valeur à $\tau$ ($12 \times 0{,}63 \approx 7{,}6\ V$), ce qui convient pour $t > \tau$.

On calcule la constante de temps : $\tau = RC = 2{,}0 \times 10^{3} \times 0{,}50 \times 10^{-6} = 1{,}0 \times 10^{-3}\ s = 1{,}0\ ms$.

On pose la condition : $1 - e^{-t_{90}/\tau} = 0{,}90$, après simplification par $E$.

On isole l'exponentielle : $e^{-t_{90}/\tau} = 0{,}10$.

On applique le logarithme népérien : $-\dfrac{t_{90}}{\tau} = \ln(0{,}10) = -\ln(10)$, donc $t_{90} = \tau\,\ln(10)$.

On calcule : $t_{90} = 1{,}0 \times 2{,}303 \approx 2{,}30\ ms$.

On compare au critère pratique : $5\tau = 5{,}0\ ms$ pour 99 % ¹. Il est logique que 90 % soit atteint plus tôt, à environ $2{,}3\,\tau$.

On écrit la loi des mailles : $E = u_R + u_C$, donc $u_R = E - u_C$.

On exprime $u_C(\tau) = E(1 - e^{-1})$, d'où $u_R(\tau) = E\,e^{-1}$.

On calcule : $u_R(\tau) = 6{,}0 \times 0{,}368 \approx 2{,}21\ V$.

On contrôle le sens de variation : la tension de la résistance tend vers 0 pendant la charge ² ; elle passe de $6{,}0\ V$ à $t = 0$ à $2{,}21\ V$ à $t = \tau$, ce qui est cohérent.