Physique-chimie (spécialité) · TerminaleBac

Loi phénoménologique de Newton : cours de Terminale spé

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Un système incompressible qui échange de l'énergie par transfert thermique avec l'extérieur voit sa température évoluer selon la loi de Newton : le flux est proportionnel à l'écart $T_{ext}-T$ .
Le bilan d'énergie donne l'équation différentielle $\dfrac{dT}{dt}+\dfrac{T}{\tau}=\dfrac{T_{ext}}{\tau}$ avec $\tau=\dfrac{mc}{hS}$ .
Solution : $T(t)=T_{ext}+(T_0-T_{ext})\,e^{-t/\tau}$ ; la température tend vers $T_{ext}$ sans la dépasser.
$\tau$ est le temps caractéristique : à $t=\tau$ , l'écart initial est multiplié par $e^{-1}\approx 0{,}37$ ; au bout de $5\tau$ , le régime est pratiquement stationnaire.
Pour trouver une durée : $t=\tau\ln\dfrac{T_0-T_{ext}}{T-T_{ext}}$ .

Pourquoi une tasse de café refroidit-elle ?

Tu poses une tasse de café brûlant sur une table. Au début, elle refroidit vite. Puis, au fil des minutes, la baisse de température ralentit, et la tasse finit par être à la même température que la pièce. Tu connais ce phénomène depuis longtemps. Ce chapitre apprend à le décrire par une équation et à prévoir la température à chaque instant.

Le programme de Terminale demande exactement cela : effectuer un bilan d'énergie pour un système incompressible qui échange de l'énergie par un transfert thermique, modélisé à l'aide de la loi de Newton fournie, puis établir l'expression de l'évolution de la température ². Tu prolonges ainsi le travail de la classe de Première sur les conversions et les transferts d'énergie ¹.

Le raisonnement tient en quatre temps :

on définit le système et on précise ses hypothèses ;
on écrit un modèle du transfert thermique (c'est la loi de Newton) ;
on fait un bilan d'énergie sur une durée très courte, ce qui donne une équation différentielle ;
on résout cette équation et on exploite le résultat.

Le système et ses hypothèses

Un bilan d'énergie commence toujours par un système bien délimité : l'eau de la tasse, un bloc de métal, une pièce de viande au four. Autour de lui se trouve l'extérieur, dont on suppose la température $T_{ext}$ constante (l'air d'une grande pièce, un four régulé, un bain thermostaté).

Le transfert thermique et la loi de Newton

Quand deux milieux de températures différentes sont en contact, de l'énergie passe spontanément du plus chaud vers le plus froid. C'est le transfert thermique, noté $Q$ (en joules). On s'intéresse à sa rapidité, donc au flux thermique $\Phi$ : l'énergie transférée par unité de temps.

$\Phi=\frac{\delta Q}{dt}\qquad(\text{en watts, }1\ \text{W}=1\ \text{J}\cdot\text{s}^{-1})$

Lis cette formule comme une phrase :

si $T>T_{ext}$ , alors $T_{ext}-T<0$ , donc $\Phi<0$ : le système perd de l'énergie et se refroidit ;
si $T<T_{ext}$ , alors $\Phi>0$ : le système reçoit de l'énergie et se réchauffe ;
si $T=T_{ext}$ , alors $\Phi=0$ : plus aucun échange net, c'est l'équilibre thermique.

Le flux est proportionnel à l'écart de température : un objet très chaud perd son énergie vite, un objet presque à l'équilibre l'échange lentement. Voilà pourquoi le café refroidit de plus en plus lentement.

Le bilan d'énergie : établir l'équation différentielle

Le premier principe, vu dans les notions précédentes, relie la variation d'énergie interne aux échanges d'énergie. Pour un système incompressible au repos, sans travail échangé, la variation de l'énergie interne est égale au transfert thermique reçu.

Démonstration · Établissement de l'équation de l'évolution de la température

On considère le système entre les instants $t$ et $t+dt$ , durée si courte que $T$ et $\Phi$ n'ont pas le temps de varier.

Variation d'énergie interne. Le système est incompressible, donc :

$dU = C\,dT$

Transfert thermique reçu pendant $dt$ :

$\delta Q = \Phi\,dt = h\,S\,(T_{ext}-T)\,dt$

Bilan (premier principe, pas de travail). On égale $dU$ et $\delta Q$ :

$C\,dT = h\,S\,(T_{ext}-T)\,dt$

On divise par $C\,dt$ :

$\frac{dT}{dt}=\frac{hS}{C}\,(T_{ext}-T)$

On pose $\tau=\dfrac{C}{hS}=\dfrac{m\,c}{h\,S}$ , qui est homogène à un temps, et on regroupe les termes en $T$ :

$\boxed{\frac{dT}{dt}+\frac{T}{\tau}=\frac{T_{ext}}{\tau}}$

C'est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants.

Résoudre l'équation et lire la solution

Que dit cette formule ?

À $t=0$ : $e^{0}=1$ , donc $T=T_0$ . La condition initiale est respectée.
Quand $t\to+\infty$ : $e^{-t/\tau}\to 0$ , donc $T\to T_{ext}$ . Le système finit par atteindre la température de l'extérieur.
Le sens de variation dépend du signe de $T_0-T_{ext}$ : si $T_0>T_{ext}$ , la température décroît ; si $T_0<T_{ext}$ , elle croît. Dans les deux cas, elle ne dépasse jamais $T_{ext}$ .

Refroidissement d'un bloc de 80 °C à 20 °C · Température du bloc en fonction du temps (minutes) pour τ = 10 min.

Le temps caractéristique τ

On voit dans la formule comment agir sur $\tau$ :

masse $m$ ou capacité massique $c$ plus grandes : $\tau$ augmente, le système est plus « inerte » ;
surface $S$ ou coefficient $h$ plus grands : $\tau$ diminue, les échanges sont plus efficaces. C'est pourquoi on souffle sur une soupe (on augmente $h$ ) et on la verse dans une assiette large (on augmente $S$ ) ;
isoler le système revient à diminuer $h$ : $\tau$ augmente, le système garde sa température plus longtemps.

PropriétéValeurs repères

Écart restant $\dfrac{T-T_{ext}}{T_0-T_{ext}}=e^{-t/\tau}$ :

Instant	$t=\tau$	$t=2\tau$	$t=3\tau$	$t=5\tau$
Écart restant	$\approx 37\ \%$	$\approx 14\ \%$	$\approx 5\ \%$	$\approx 0{,}7\ \%$

Après $5\tau$ , on considère en pratique que le régime stationnaire est atteint.

SystèmeDéfinir le système et ses hypothèses
BilanÉcrire C dT = Φ dt
NewtonRemplacer Φ par hS(T_ext − T)
RésolutionIdentifier τ et appliquer T(0) = T0
ContrôleVérifier T(0), T(∞) et l'unité de τ

Démarche pour résoudre un problème · De l'énoncé à la solution.

Exemples rédigés complets

ExempleDu bilan à la température : un bloc d'aluminium

Un bloc d'aluminium de masse $m=0{,}50\ \text{kg}$ et de capacité thermique massique $c=900\ \text{J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$ est chauffé à $T_0=100\,°\text{C}$ , puis laissé dans une salle à $T_{ext}=20\,°\text{C}$ . On donne $h\,S=1{,}5\ \text{W}\cdot\text{K}^{-1}$ .

1. Capacité thermique. $C=m\,c=0{,}50\times 900=450\ \text{J}\cdot\text{K}^{-1}$ .

2. Temps caractéristique. $\tau=\dfrac{C}{hS}=\dfrac{450}{1{,}5}=300\ \text{s}$ , soit $5\ \text{min}$ .

3. Loi d'évolution. $T(t)=20+80\,e^{-t/300}$ (en $°\text{C}$ , $t$ en secondes).

4. Température après $10\ \text{min}$ ( $t=600\ \text{s}=2\tau$ ) : $T=20+80\,e^{-2}\approx 20+10{,}8=30{,}8\,°\text{C}$ .

5. Durée pour atteindre $40\,°\text{C}$ . $t=300\,\ln\dfrac{80}{20}=300\,\ln 4\approx 416\ \text{s}$ , soit environ $7\ \text{min}$ .

Erreurs fréquentes et conduite d'un exercice

Exercices corrigés

Exercice 1 Temps caractéristique d'une tasse de café

★☆☆Environ 8 min

Une tasse contient $m=0{,}25\ \text{kg}$ de café, assimilé à de l'eau de capacité thermique massique $c=4180\ \text{J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$ . Le café est considéré comme un système incompressible. L'échange thermique avec l'air ambiant est modélisé par la loi de Newton avec $h=10\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1}$ et une surface d'échange $S=0{,}040\ \text{m}^2$ .

Calculer le temps caractéristique $\tau$ de refroidissement, en secondes.

Indice 1

Commence par la capacité thermique $C=m\,c$ .

Indice 2

Le temps caractéristique est le rapport de $C$ par $hS$ .

Voir la correction pas à pas

On calcule la capacité thermique : $C=m\,c=0{,}25\times 4180=1045\ \text{J}\cdot\text{K}^{-1}$ .
On calcule $hS=10\times 0{,}040=0{,}40\ \text{W}\cdot\text{K}^{-1}$ .
On forme le rapport : $\tau=\dfrac{C}{hS}=\dfrac{1045}{0{,}40}=2612{,}5\ \text{s}$ .
On vérifie l'unité : $\text{J}\cdot\text{K}^{-1}$ divisés par $\text{W}\cdot\text{K}^{-1}$ donnent des secondes.

$\tau\approx 2{,}6\times 10^{3}\ \text{s}$ , soit environ $44\ \text{min}$ . Le café met donc plusieurs dizaines de minutes à se rapprocher de la température de la pièce.

Exercice 2 Quand la boisson atteint-elle 40 °C ?

★★☆Environ 12 min

Une boisson, système incompressible, est à $T_0=90\,°\text{C}$ dans une pièce à $T_{ext}=20\,°\text{C}$ . Son refroidissement suit la loi de Newton avec un temps caractéristique $\tau=600\ \text{s}$ .

Donner l'expression de $T(t)$ .
Calculer la durée au bout de laquelle la boisson atteint $40\,°\text{C}$ , en secondes.

Indice 1

Écris l'écart initial $T_0-T_{ext}$ puis reporte-le dans la solution générale.

Indice 2

Isole l'exponentielle, puis applique le logarithme népérien.

Voir la correction pas à pas

On écrit l'écart initial : $T_0-T_{ext}=90-20=70\,°\text{C}$ .
On obtient $T(t)=20+70\,e^{-t/600}$ .
On pose $T(t)=40$ : $20+70\,e^{-t/600}=40$ , donc $e^{-t/600}=\dfrac{20}{70}=\dfrac{2}{7}$ .
On applique le logarithme : $-\dfrac{t}{600}=\ln\dfrac{2}{7}$ , donc $t=600\,\ln\dfrac{7}{2}$ .
On calcule : $\ln 3{,}5\approx 1{,}2528$ , donc $t\approx 751{,}7\ \text{s}$ .

La boisson atteint $40\,°\text{C}$ après environ $752\ \text{s}$ , soit un peu plus de $12\ \text{min}$ . Le résultat est cohérent : il reste $2/7\approx 29\ \%$ de l'écart initial, moins que les $37\ \%$ restant à $t=\tau$ , donc $t$ est un peu supérieur à $\tau$ .

Exercice 3 Déduire τ d'une mesure

★★★Environ 15 min

Une bouteille de lait sort du réfrigérateur à $T_0=5\,°\text{C}$ . On la laisse dans une cuisine à $T_{ext}=25\,°\text{C}$ . Après $20\ \text{min}$ ( $1200\ \text{s}$ ), sa température est $T=15\,°\text{C}$ . Le modèle de la loi de Newton s'applique.

Écrire $T(t)$ en fonction de $\tau$ .
En déduire la valeur de $\tau$ , en secondes.
Sans refaire de calcul, indiquer l'allure de $T(t)$ pour $t>1200\ \text{s}$ .

Indice 1

Calcule le rapport $\dfrac{T-T_{ext}}{T_0-T_{ext}}$ à $t=1200\ \text{s}$ .

Indice 2

Ce rapport vaut $e^{-t/\tau}$ : isole $\tau$ avec un logarithme.

Voir la correction pas à pas

On écrit la loi : $T(t)=25+(5-25)\,e^{-t/\tau}=25-20\,e^{-t/\tau}$ .
À $t=1200\ \text{s}$ : $15=25-20\,e^{-1200/\tau}$ , donc $e^{-1200/\tau}=\dfrac{10}{20}=\dfrac{1}{2}$ .
On passe au logarithme : $-\dfrac{1200}{\tau}=-\ln 2$ , donc $\tau=\dfrac{1200}{\ln 2}$ .
On calcule : $\tau\approx 1731\ \text{s}$ , soit environ $29\ \text{min}$ .
Pour $t>1200\ \text{s}$ : la température continue de croître, de plus en plus lentement, vers $25\,°\text{C}$ qu'elle ne dépasse pas.

Le lait met $1200\ \text{s}$ pour parcourir la moitié de l'écart qui le sépare de $T_{ext}$ : cette durée de « demi-écart » vaut $\tau\ln 2\approx 0{,}69\,\tau$ . On retrouve bien $\tau\approx 1731\ \text{s}$ .

Les questions qu'on se pose

À quoi sert la loi de Newton en pratique ?

Elle permet de prévoir combien de temps un objet met à refroidir ou à se réchauffer : durée de cuisson, refroidissement d'un moteur, isolation d'un bâtiment, conservation d'un aliment. Le programme de Terminale la place dans les bilans d'énergie de systèmes incompressibles ².

Dois-je connaître la loi par cœur pour le bac ?

Le programme prévoit que la loi de Newton est fournie dans l'énoncé ². Ce qui est attendu, c'est que tu saches faire le bilan d'énergie, en déduire l'équation différentielle, identifier $\tau$ et résoudre. Retenir la forme $\Phi=hS(T_{ext}-T)$ t'évite pourtant de perdre du temps sur les signes.

Comment savoir si je dois mettre T − T_ext ou T_ext − T ?

Cela dépend de ce que représente le flux. Pour le flux reçu par le système, on écrit $T_{ext}-T$ : positif quand le système est plus froid que l'extérieur. Pour le flux perdu, on écrit $T-T_{ext}$ . Vérifie toujours le résultat final : l'équation doit toujours rapprocher $T$ de $T_{ext}$ , jamais l'en éloigner.

Pourquoi la température ne varie-t-elle pas linéairement avec le temps ?

Parce que le flux dépend de l'écart de température, qui diminue au fur et à mesure. La vitesse de variation $\dfrac{dT}{dt}$ est proportionnelle à cet écart : elle est maximale au début et tend vers zéro. La courbe est donc une exponentielle, pas une droite.

Quelle différence avec les transferts thermiques de la classe de Première ?

En Première, on aborde les conversions et les transferts d'énergie, notamment pour les phénomènes électriques ¹. En Terminale, on suit l'évolution au cours du temps : le bilan s'écrit sur une durée infinitésimale et débouche sur une équation différentielle, résolue avec une condition initiale.

Sources

Programmes et ressources en physique-chimie - Voie générale et technologique, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Physique-chimie, enseignement de spécialité, classe terminale, voie générale, Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.

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Loi phénoménologique de Newton : cours de Terminale spé

L'essentiel

Pourquoi une tasse de café refroidit-elle ?

Le système et ses hypothèses

Le transfert thermique et la loi de Newton

Le bilan d'énergie : établir l'équation différentielle

Résoudre l'équation et lire la solution

Le temps caractéristique τ

Exemples rédigés complets

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Exercices corrigés

Exercice 1 Temps caractéristique d'une tasse de café

Exercice 2 Quand la boisson atteint-elle 40 °C ?

Exercice 3 Déduire τ d'une mesure

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