Physique-chimie (spécialité) · TerminaleBac

Loi de Newton (refroidissement) : exercices corrigés de Tle

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Le programme demande un bilan d'énergie pour un système incompressible qui échange de l'énergie par transfert thermique modélisé par la loi de Newton fournie ².
Avec la loi donnée dans ces exercices, le bilan s'écrit $C\,\dfrac{dT}{dt}=hS\,(T_{ext}-T)$ , avec $C=mc$ la capacité thermique du système.
La solution est $T(t)=T_{ext}+(T_0-T_{ext})\,e^{-t/\tau}$ avec $\tau=\dfrac{C}{hS}$ : la température tend vers celle du milieu extérieur.
Pour trouver une durée, isole l'exponentielle puis prends le logarithme népérien ; pour trouver $h$ , exploite deux mesures de température à deux instants.
Après $\tau$ , il reste environ 37 % de l'écart initial ; après $3\tau$ , environ 5 %.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices portent sur la modélisation de l'évolution de la température d'un système qui échange de l'énergie avec son environnement. Le programme de spécialité de Terminale demande d'effectuer un bilan d'énergie pour un système incompressible échangeant de l'énergie par un transfert thermique modélisé à l'aide de la loi de Newton, loi qui est fournie dans le sujet ². Tu n'as donc pas à la retenir par cœur, mais tu dois savoir l'exploiter. Les notions vues avant te servent de base : le premier principe, l'énergie interne et les transferts thermiques.

Les exercices sont classés par difficulté croissante. Les premiers s'appuient sur une seule formule. Les suivants demandent d'enchaîner plusieurs étapes. Les derniers t'obligent à retrouver un paramètre du modèle à partir de mesures. Cherche toujours seul(e) pendant quelques minutes, regarde les indices si tu es bloqué(e), puis compare ta démarche à la correction : c'est la rédaction qui rapporte des points, pas seulement le résultat.

MéthodeLa méthode en quatre temps

Dans tous les énoncés ci-dessous, la loi de Newton est donnée sous la forme suivante : le flux thermique reçu par le système vaut

$\Phi = hS\,(T_{ext}-T)$

avec $h$ le coefficient d'échange (en $\text{W·m}^{-2}\text{·K}^{-1}$ ), $S$ la surface d'échange (en $\text{m}^2$ ), $T_{ext}$ la température du milieu extérieur et $T$ celle du système.

Définis le système et vérifie qu'on peut le supposer incompressible : son énergie interne ne varie alors que par sa température, $dU = C\,dT$ avec $C = mc$ en $\text{J·K}^{-1}$ .
Écris le bilan d'énergie sur une durée $dt$ : $C\,dT = \Phi\,dt$ .
Obtiens l'équation différentielle : $\dfrac{dT}{dt}+\dfrac{T}{\tau}=\dfrac{T_{ext}}{\tau}$ avec $\tau=\dfrac{C}{hS}$ .
Résous et exploite : $T(t)=T_{ext}+(T_0-T_{ext})\,e^{-t/\tau}$ , puis réponds à la question (valeur, durée, coefficient).

Repères pour lire une solution exponentielle

Avant de te lancer dans les calculs, il est utile d'avoir en tête l'allure de la solution. L'écart $T-T_{ext}$ est multiplié par $e^{-t/\tau}$ : il décroît toujours, sans jamais s'annuler en un temps fini. La constante $\tau$ fixe l'échelle de durée de cette décroissance.

Part de l'écart initial restant au bout de n constantes de temps
Durée écoulée	Fraction de l'écart restante
$\tau$	environ 37 %
$2\tau$	environ 14 %
$3\tau$	environ 5 %
$5\tau$	moins de 1 %

Part de l'écart initial restant au bout de n constantes de temps

Les exercices

Exercice 1 Calculer la constante de temps d'une tasse

★☆☆Environ 5 min

Une tasse contient une masse $m = 0{,}20\ \text{kg}$ d'eau, de capacité thermique massique $c = 4180\ \text{J·kg}^{-1}\text{·K}^{-1}$ . On modélise les échanges thermiques avec l'air de la pièce par la loi de Newton avec $hS = 0{,}50\ \text{W·K}^{-1}$ . On néglige la capacité thermique de la tasse.

Calcule la constante de temps $\tau$ du refroidissement, en secondes.

Indice 1

Commence par calculer la capacité thermique $C = mc$ du système.

Indice 2

La constante de temps est le quotient $C / hS$ .

Voir la correction pas à pas

Le système est l'eau, supposée incompressible : sa capacité thermique est $C = mc = 0{,}20 \times 4180 = 836\ \text{J·K}^{-1}$ .
Le bilan d'énergie $C\,dT = hS\,(T_{ext}-T)\,dt$ conduit à $\tau = \dfrac{C}{hS}$ .
On calcule : $\tau = \dfrac{836}{0{,}50} = 1672\ \text{s}$ , soit environ $28$ minutes.

La constante de temps vaut $\tau = 1672\ \text{s}$ . C'est l'échelle de durée de l'évolution : après quelques $\tau$ , la tasse est pratiquement à la température de la pièce.

Exercice 2 Flux thermique perdu par une plaque

★☆☆Environ 5 min

Une plaque métallique de surface d'échange $S = 0{,}040\ \text{m}^2$ est à la température $T = 80\ ^\circ\text{C}$ dans une pièce à $T_{ext} = 20\ ^\circ\text{C}$ . Le coefficient d'échange est $h = 10\ \text{W·m}^{-2}\text{·K}^{-1}$ .

Calcule la valeur du flux thermique cédé par la plaque à l'air, en watts.

Indice 1

La loi de Newton donne le flux reçu : $hS\,(T_{ext}-T)$ . Le flux cédé est son opposé.

Indice 2

Calcule d'abord l'écart de température.

Voir la correction pas à pas

Écart de température : $T - T_{ext} = 80 - 20 = 60\ \text{K}$ .
Le flux reçu par la plaque vaut $\Phi = hS\,(T_{ext}-T) = -hS \times 60$ , négatif car la plaque perd de l'énergie.
Valeur du flux cédé : $10 \times 0{,}040 \times 60 = 24\ \text{W}$ .

La plaque cède $24\ \text{W}$ à l'air. Ce flux diminuera au fur et à mesure que l'écart de température se réduira.

Exercice 3 Vitesse initiale de refroidissement

★☆☆Environ 8 min

On reprend l'eau de l'exercice sur la tasse : $C = 836\ \text{J·K}^{-1}$ et $hS = 0{,}50\ \text{W·K}^{-1}$ . À l'instant $t = 0$ , l'eau est à $T_0 = 90\ ^\circ\text{C}$ et la pièce à $T_{ext} = 20\ ^\circ\text{C}$ .

Calcule la valeur de $\dfrac{dT}{dt}$ à $t = 0$ , en $\text{K·s}^{-1}$ .

Indice 1

Isole $\dfrac{dT}{dt}$ dans le bilan d'énergie $C\,\dfrac{dT}{dt} = hS\,(T_{ext}-T)$ .

Indice 2

Remplace $T$ par $T_0$ .

Voir la correction pas à pas

Le bilan d'énergie s'écrit $C\,\dfrac{dT}{dt} = hS\,(T_{ext}-T)$ , donc $\dfrac{dT}{dt} = \dfrac{hS\,(T_{ext}-T)}{C}$ .
À $t=0$ : $T_{ext}-T_0 = 20-90 = -70\ \text{K}$ .
Application numérique : $\dfrac{dT}{dt} = \dfrac{0{,}50 \times (-70)}{836} \approx -0{,}0419\ \text{K·s}^{-1}$ .

La température chute d'abord d'environ $0{,}042\ \text{K}$ par seconde, soit un peu plus de $2{,}5\ \text{K}$ par minute. Le signe négatif traduit le refroidissement, et la pente diminue ensuite en valeur absolue.

Exercice 4 Effet de la masse sur la constante de temps

★☆☆Environ 6 min

On remplace la tasse précédente par un grand bol contenant $m = 0{,}40\ \text{kg}$ d'eau ( $c = 4180\ \text{J·kg}^{-1}\text{·K}^{-1}$ ). On suppose que le produit $hS$ reste égal à $0{,}50\ \text{W·K}^{-1}$ .

Calcule la nouvelle constante de temps, en secondes, puis compare-la à celle de la tasse ( $1672\ \text{s}$ ).

Indice 1

Recalcule $C$ avec la nouvelle masse.

Indice 2

Compare le rapport des deux constantes de temps au rapport des masses.

Voir la correction pas à pas

Capacité thermique : $C = 0{,}40 \times 4180 = 1672\ \text{J·K}^{-1}$ .
Constante de temps : $\tau = \dfrac{1672}{0{,}50} = 3344\ \text{s}$ .
Comparaison : $\dfrac{3344}{1672} = 2$ , le même rapport que celui des masses ( $0{,}40/0{,}20$ ).

La constante de temps double quand la masse double, tant que $hS$ ne change pas : $\tau$ est proportionnelle à $C$ . Une plus grande quantité d'eau garde donc sa chaleur plus longtemps.

Exercice 5 Température après 1000 secondes

★★☆Environ 10 min

Avec les mêmes données ( $T_0 = 90\ ^\circ\text{C}$ , $T_{ext} = 20\ ^\circ\text{C}$ , $\tau = 1672\ \text{s}$ ), la température de l'eau suit $T(t) = T_{ext} + (T_0 - T_{ext})\,e^{-t/\tau}$ .

Calcule la température de l'eau à $t = 1000\ \text{s}$ , en degrés Celsius.

Indice 1

Calcule d'abord le rapport $t/\tau$ , puis l'exponentielle.

Indice 2

Remplace ensuite dans la formule sans oublier d'ajouter $T_{ext}$ .

Voir la correction pas à pas

Rapport : $\dfrac{t}{\tau} = \dfrac{1000}{1672} \approx 0{,}598$ .
Exponentielle : $e^{-0{,}598} \approx 0{,}550$ .
Écart initial : $T_0 - T_{ext} = 70\ \text{K}$ , donc $70 \times 0{,}550 \approx 38{,}5\ \text{K}$ .
Température : $T(1000) = 20 + 38{,}5 \approx 58{,}5\ ^\circ\text{C}$ .

Après $1000\ \text{s}$ (un peu plus de 16 minutes), l'eau est à environ $58{,}5\ ^\circ\text{C}$ . Vérification de cohérence : cette valeur est comprise entre $20$ et $90\ ^\circ\text{C}$ et décroît bien depuis la valeur initiale.

Exercice 6 Flux thermique à un instant donné

★★☆Environ 8 min

Dans la situation précédente ( $hS = 0{,}50\ \text{W·K}^{-1}$ , $T_{ext} = 20\ ^\circ\text{C}$ ), l'eau est à $58{,}5\ ^\circ\text{C}$ à l'instant $t = 1000\ \text{s}$ . On rappelle que l'écart initial valait $70\ \text{K}$ et que $\tau = 1672\ \text{s}$ .

Calcule la valeur du flux thermique cédé par l'eau à cet instant, en watts, en utilisant l'expression de l'écart $T-T_{ext}$ .

Indice 1

Le flux cédé vaut $hS\,(T-T_{ext})$ .

Indice 2

L'écart à $t=1000\ \text{s}$ est $70\,e^{-1000/1672}$ .

Voir la correction pas à pas

Écart de température à l'instant considéré : $T - T_{ext} = 70\,e^{-1000/1672} \approx 38{,}5\ \text{K}$ .
Flux cédé : $hS\,(T-T_{ext}) = 0{,}50 \times 38{,}5$ .
Application numérique : $\approx 19{,}2\ \text{W}$ .

À $t = 1000\ \text{s}$ l'eau cède environ $19\ \text{W}$ . À $t = 0$ , le flux cédé valait $0{,}50 \times 70 = 35\ \text{W}$ : il a presque été divisé par deux, comme l'écart de température.

Exercice 7 Durée pour atteindre une température

★★☆Environ 10 min

Toujours avec $T_0 = 90\ ^\circ\text{C}$ , $T_{ext} = 20\ ^\circ\text{C}$ et $\tau = 1672\ \text{s}$ , on veut boire le liquide quand il atteint $40\ ^\circ\text{C}$ .

Calcule la durée $t$ nécessaire, en secondes.

Indice 1

Isole l'exponentielle : $e^{-t/\tau} = \dfrac{T - T_{ext}}{T_0 - T_{ext}}$ .

Indice 2

Prends le logarithme népérien des deux membres.

Voir la correction pas à pas

On part de $T(t) - T_{ext} = (T_0 - T_{ext})\,e^{-t/\tau}$ .
On isole l'exponentielle : $e^{-t/\tau} = \dfrac{40-20}{90-20} = \dfrac{20}{70}$ .
On prend le logarithme : $-\dfrac{t}{\tau} = \ln\!\left(\dfrac{20}{70}\right)$ , donc $t = \tau\,\ln\!\left(\dfrac{70}{20}\right) = \tau \ln 3{,}5$ .
Application numérique : $t = 1672 \times 1{,}2528 \approx 2095\ \text{s}$ , soit environ $35$ minutes.

Il faut attendre environ $2095\ \text{s}$ . Retourner le rapport dans le logarithme, c'est éviter un temps négatif : un résultat de durée doit toujours être positif.

Exercice 8 Temps de demi-refroidissement

★★☆Environ 10 min

On appelle temps de demi-refroidissement la durée $t_{1/2}$ au bout de laquelle l'écart $T-T_{ext}$ a été divisé par deux. Pour l'eau de la tasse, $\tau = 1672\ \text{s}$ .

Exprime $t_{1/2}$ en fonction de $\tau$ , puis calcule sa valeur en secondes.

Indice 1

Écris la condition $T(t_{1/2})-T_{ext} = \dfrac{1}{2}(T_0-T_{ext})$ .

Indice 2

Simplifie par l'écart initial : il ne reste que l'exponentielle.

Voir la correction pas à pas

La condition donne $(T_0-T_{ext})\,e^{-t_{1/2}/\tau} = \dfrac{1}{2}(T_0-T_{ext})$ .
On simplifie : $e^{-t_{1/2}/\tau} = \dfrac{1}{2}$ , donc $t_{1/2} = \tau\,\ln 2$ .
Application numérique : $t_{1/2} = 1672 \times 0{,}693 \approx 1159\ \text{s}$ .

Le temps de demi-refroidissement vaut $\tau\ln 2 \approx 1159\ \text{s}$ , soit environ $19$ minutes. Il ne dépend ni de $T_0$ ni de $T_{ext}$ : seul le rapport $C/hS$ compte.

Exercice 9 Chauffage d'un bloc dans un four

★★☆Environ 12 min

Un bloc d'aluminium de masse $m = 0{,}50\ \text{kg}$ et de capacité thermique massique $c = 900\ \text{J·kg}^{-1}\text{·K}^{-1}$ est placé, à $T_0 = 20\ ^\circ\text{C}$ , dans un four maintenu à $T_{ext} = 200\ ^\circ\text{C}$ . Les échanges suivent la loi de Newton avec $hS = 1{,}5\ \text{W·K}^{-1}$ .

Calcule la durée au bout de laquelle le bloc atteint $150\ ^\circ\text{C}$ , en secondes.

Indice 1

Calcule d'abord $C$ puis $\tau$ .

Indice 2

Ici $T_{ext} > T$ : l'écart $T_{ext} - T$ diminue, la température du bloc augmente.

Voir la correction pas à pas

Capacité thermique : $C = mc = 0{,}50 \times 900 = 450\ \text{J·K}^{-1}$ .
Constante de temps : $\tau = \dfrac{C}{hS} = \dfrac{450}{1{,}5} = 300\ \text{s}$ .
Solution : $T(t) = T_{ext} + (T_0 - T_{ext})\,e^{-t/\tau}$ , soit $150 = 200 - 180\,e^{-t/\tau}$ .
On isole : $e^{-t/\tau} = \dfrac{50}{180}$ , donc $t = \tau \ln\!\left(\dfrac{180}{50}\right) = 300\,\ln 3{,}6$ .
Application numérique : $t \approx 300 \times 1{,}281 \approx 384\ \text{s}$ .

Le bloc atteint $150\ ^\circ\text{C}$ en environ $384\ \text{s}$ , soit un peu plus de 6 minutes. La loi est la même qu'en refroidissement : seul le signe de l'écart change.

Exercice 10 Déterminer le coefficient d'échange à partir de mesures

★★★Environ 15 min

Une tasse contient $m = 0{,}25\ \text{kg}$ d'eau ( $c = 4180\ \text{J·kg}^{-1}\text{·K}^{-1}$ ). La surface d'échange avec l'air est $S = 0{,}025\ \text{m}^2$ ; l'air de la pièce est à $20\ ^\circ\text{C}$ . On mesure une température de $80\ ^\circ\text{C}$ à l'instant initial et de $60\ ^\circ\text{C}$ après $600\ \text{s}$ . On suppose que la loi de Newton décrit les échanges.

Calcule le coefficient d'échange $h$ , en $\text{W·m}^{-2}\text{·K}^{-1}$ .

Indice 1

Utilise la solution $T(t)$ avec les deux mesures pour exprimer $\tau$ à l'aide d'un logarithme.

Indice 2

Une fois $\tau$ connu, $hS = C/\tau$ , puis divise par $S$ .

Voir la correction pas à pas

Solution du modèle : $T(t) - T_{ext} = (T_0 - T_{ext})\,e^{-t/\tau}$ . À $t = 600\ \text{s}$ : $40 = 60\,e^{-600/\tau}$ .
On en tire $e^{-600/\tau} = \dfrac{2}{3}$ , donc $\tau = \dfrac{600}{\ln 1{,}5} \approx 1480\ \text{s}$ .
Capacité thermique : $C = 0{,}25 \times 4180 = 1045\ \text{J·K}^{-1}$ .
Comme $\tau = \dfrac{C}{hS}$ , on a $hS = \dfrac{C}{\tau} = \dfrac{1045 \times \ln 1{,}5}{600} \approx 0{,}706\ \text{W·K}^{-1}$ .
Enfin $h = \dfrac{hS}{S} = \dfrac{0{,}706}{0{,}025} \approx 28{,}2\ \text{W·m}^{-2}\text{·K}^{-1}$ .

Le coefficient d'échange vaut environ $28\ \text{W·m}^{-2}\text{·K}^{-1}$ . Cette démarche, qui consiste à déduire un paramètre du modèle à partir de mesures, est celle d'une modélisation expérimentale : le modèle est ensuite à confronter à d'autres mesures.

Les questions qu'on se pose

Dois-je connaître la loi de Newton par cœur au bac ?

Le programme prévoit un bilan d'énergie avec une loi de Newton fournie ². Ce qu'on attend de toi, c'est de savoir l'utiliser : écrire le bilan, en tirer l'équation différentielle, la résoudre et interpréter. Il est toutefois utile de comprendre le sens de chaque terme, notamment le signe de l'écart $T_{ext}-T$ .

Pourquoi la température ne dépasse-t-elle jamais celle de l'extérieur ?

Dans le modèle, le flux est proportionnel à l'écart $T_{ext}-T$ . Plus ce dernier diminue, plus le flux faiblit. À l'égalité des températures, le flux est nul et la température n'évolue plus. Mathématiquement, l'exponentielle $e^{-t/\tau}$ tend vers $0$ sans jamais changer le signe de l'écart : $T$ s'approche de $T_{ext}$ sans le franchir.

Comment savoir si je dois écrire $T_{ext}-T$ ou $T-T_{ext}$ ?

Tout dépend de ce que tu calcules. Pour le flux reçu par le système, on écrit $hS\,(T_{ext}-T)$ : il est positif quand le système se réchauffe. Pour un flux cédé, on prend l'opposé. Dans la solution, l'écart apparaît sous la forme $T-T_{ext}$ ou $T_0-T_{ext}$ , mais les deux formes sont équivalentes tant que tu gardes le même ordre des deux côtés de l'égalité.

Faut-il convertir les températures en kelvins ?

Non, pas pour un écart. Une différence de températures vaut la même chose en degrés Celsius et en kelvins, et seules des différences interviennent dans la loi utilisée ici. La capacité thermique, elle, s'exprime en $\text{J·K}^{-1}$ , ce qui est cohérent : il s'agit aussi d'un rapport à un écart de température.

Sources

Programmes et ressources en physique-chimie - Voie générale et technologique, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Physique-chimie, enseignement de spécialité, classe terminale, voie générale, Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.

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Repères pour lire une solution exponentielle

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Exercice 1 Calculer la constante de temps d'une tasse

Exercice 2 Flux thermique perdu par une plaque

Exercice 3 Vitesse initiale de refroidissement

Exercice 4 Effet de la masse sur la constante de temps

Exercice 5 Température après 1000 secondes

Exercice 6 Flux thermique à un instant donné

Exercice 7 Durée pour atteindre une température

Exercice 8 Temps de demi-refroidissement

Exercice 9 Chauffage d'un bloc dans un four

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