Datation et radioactivité : exercices corrigés de Terminale

On calcule le nombre de demi-vies : $n=\dfrac{17\,190}{5\,730}=3$.

À chaque demi-vie, la quantité est divisée par 2. Après trois demi-vies, elle est divisée par $2\times2\times2=8$.

La fraction restante est $\left(\tfrac12\right)^3=\tfrac18$.

En pourcentage : $\tfrac18\times100=12{,}5\ \%$.

Pour A, 2 000 ans représentent moins d'une demi-vie du carbone 14 (5 730 ans) : la quantité restante est largement mesurable. La méthode est adaptée.

Pour B, 45 000 ans approchent la limite d'environ 50 000 ans, soit à peu près huit demi-vies ⁴. Il ne reste qu'une très petite fraction de carbone 14, et l'incertitude grandit avec l'âge : les résultats deviennent approximatifs au-delà de 35 000 ans ⁴. La méthode est utilisable mais peu précise.

Pour C, l'âge dépasse de très loin cette limite : il ne reste plus assez de carbone 14. Il faut employer un autre couple de noyaux, par exemple potassium-argon ou rubidium-strontium, qui permettent de dater des roches ⁴.

On en déduit que le choix de la méthode dépend de la demi-vie du noyau utilisé, qui doit être du même ordre de grandeur que l'âge à mesurer.

L'activité est proportionnelle au nombre de noyaux, donc $\dfrac{N}{N_0}=0{,}30$.

On écrit la loi : $0{,}30=\left(\dfrac12\right)^{t/5\,730}$.

On applique $\ln$ aux deux membres : $\ln 0{,}30=\dfrac{t}{5\,730}\times\ln\left(\dfrac12\right)=-\dfrac{t}{5\,730}\ln 2$.

On isole $t$ : $t=-5\,730\times\dfrac{\ln 0{,}30}{\ln 2}$.

Application numérique : $\ln 0{,}30\approx-1{,}204$ et $\ln 2\approx0{,}693$, donc $t\approx5\,730\times1{,}737\approx9\,953$ ans.

Contrôle : 30 % est compris entre 50 % (une demi-vie) et 25 % (deux demi-vies), donc l'âge doit se situer entre 5 730 et 11 460 ans. C'est bien le cas.

Par définition de la demi-vie, $N(t_{1/2})=\dfrac{N_0}{2}$.

On remplace dans le modèle : $\dfrac{N_0}{2}=N_0\,e^{-\lambda t_{1/2}}$, soit $\dfrac12=e^{-\lambda t_{1/2}}$.

On applique $\ln$ : $-\ln 2=-\lambda t_{1/2}$, donc $\lambda=\dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}$.

Application numérique : $\lambda=\dfrac{0{,}693}{5\,730}\approx1{,}21\times10^{-4}\ \text{an}^{-1}$.

Après huit demi-vies, la fraction restante est $\left(\tfrac12\right)^8=\tfrac1{256}$.

En pourcentage : $\tfrac{100}{256}\approx0{,}39\ \%$.

Il reste donc moins de 0,4 % des noyaux de départ. L'échantillon produit très peu de désintégrations.

Ce signal très faible est du même ordre que la radioactivité naturelle et les rayons cosmiques, qui forment un bruit de fond ⁴.

Une petite erreur de mesure sur la quantité restante entraîne alors une grande erreur sur l'âge calculé, puisque l'âge dépend du logarithme du rapport $N_0/N$.

Chaque noyau P qui se désintègre produit un noyau D, et il n'y avait pas de D au départ : $N_0=N_P+N_D$.

Avec $N_D=3N_P$, on a $N_0=N_P+3N_P=4N_P$.

La fraction de noyaux P restants est donc $\dfrac{N_P}{N_0}=\dfrac14=\left(\dfrac12\right)^2$.

Cela correspond à deux demi-vies. Avec le logarithme : $t=t_{1/2}\,\dfrac{\ln 4}{\ln 2}=700\times2$.

L'âge de la roche est $t=1\,400$ millions d'années, soit 1,4 milliard d'années.

Remarque sur la méthode : si la roche avait déjà contenu des noyaux D à sa formation, le calcul serait faux. L'hypothèse de départ est donc essentielle.