Conductimétrie et loi de Kohlrausch : exercices de Terminale

On convertit l'intensité : $I = 2{,}4\ \text{mA} = 2{,}4\times 10^{-3}\ \text{A}$.

La loi d'Ohm donne $U = R\,I$, donc $G = \dfrac{1}{R} = \dfrac{I}{U}$.

Application numérique : $G = \dfrac{2{,}4\times 10^{-3}}{1{,}2} = 2{,}0\times 10^{-3}\ \text{S}$.

En millisiemens : $G = 2{,}0\ \text{mS}$.

La résistance est l'inverse de la conductance : $R = \dfrac{1}{G} = \dfrac{1}{2{,}0\times 10^{-3}} = 5{,}0\times 10^{2}\ \Omega$.

Conversion : $S = 1{,}0\times 10^{-4}\ \text{m}^2$ et $l = 1{,}0\times 10^{-2}\ \text{m}$.

Constante de cellule : $k = \dfrac{l}{S} = \dfrac{1{,}0\times 10^{-2}}{1{,}0\times 10^{-4}} = 1{,}0\times 10^{2}\ \text{m}^{-1}$.

La conductance est proportionnelle à $S$ et inversement proportionnelle à $l$ ⁴, donc $G = \sigma\,\dfrac{S}{l}$ et $\sigma = G\times \dfrac{l}{S}$.

On convertit $G = 1{,}5\ \text{mS} = 1{,}5\times 10^{-3}\ \text{S}$.

Application numérique : $\sigma = 1{,}5\times 10^{-3}\times 1{,}0\times 10^{2} = 0{,}15\ \text{S/m}$.

Les conductimètres affichent souvent leur résultat en mS/cm, alors que l'unité du Système international est le S/m ⁵. Il faut donc convertir.

Numérateur : $1{,}2\ \text{mS} = 1{,}2\times 10^{-3}\ \text{S}$.

Dénominateur : $1\ \text{cm} = 10^{-2}\ \text{m}$.

Quotient : $\sigma = \dfrac{1{,}2\times 10^{-3}}{10^{-2}} = 1{,}2\times 10^{-1}\ \text{S/m}$.

Vérification : $1\ \text{mS/cm} = 0{,}1\ \text{S/m}$, donc $1{,}2\ \text{mS/cm}$ donne bien $0{,}12\ \text{S/m}$.

Dissociation totale : $\text{NaCl} \to \text{Na}^+ + \text{Cl}^-$, donc $[\text{Na}^+] = [\text{Cl}^-] = c$.

Conversion : $c = 5{,}0\ \text{mmol/L} = 5{,}0\ \text{mol/m}^3$.

La conductivité d'une solution ionique dépend de la nature et de la concentration de chaque ion ⁵ ; la loi de Kohlrausch s'écrit ici $\sigma = \lambda(\text{Na}^+)[\text{Na}^+] + \lambda(\text{Cl}^-)[\text{Cl}^-]$.

Application numérique : $\sigma = 5{,}01\times 10^{-3}\times 5{,}0 + 7{,}63\times 10^{-3}\times 5{,}0$.

Calcul : $\sigma = (5{,}01+7{,}63)\times 10^{-3}\times 5{,}0 = 6{,}32\times 10^{-2}\ \text{S/m}$.

D'après l'équation, $[\text{Ca}^{2+}] = c = 2{,}0\ \text{mmol/L} = 2{,}0\ \text{mol/m}^3$.

Il se forme deux ions chlorure par unité de formule : $[\text{Cl}^-] = 2c = 4{,}0\ \text{mol/m}^3$.

On écrit la loi de Kohlrausch en additionnant les contributions de chaque ion ⁵ : $\sigma = \lambda(\text{Ca}^{2+})[\text{Ca}^{2+}] + \lambda(\text{Cl}^-)[\text{Cl}^-]$.

Premier terme : $11{,}9\times 10^{-3}\times 2{,}0 = 2{,}38\times 10^{-2}\ \text{S/m}$.

Second terme : $7{,}63\times 10^{-3}\times 4{,}0 = 3{,}05\times 10^{-2}\ \text{S/m}$.

Somme : $\sigma = 2{,}38\times 10^{-2} + 3{,}05\times 10^{-2} = 5{,}43\times 10^{-2}\ \text{S/m}$.

On isole la concentration : $c = \dfrac{\sigma}{k}$.

Application numérique : $c = \dfrac{0{,}0316}{12{,}64\times 10^{-3}} = 2{,}5\ \text{mol/m}^3$.

Conversion : $2{,}5\ \text{mol/m}^3 = 2{,}5\ \text{mmol/L}$.

En mol/L : $c = 2{,}5\times 10^{-3}\ \text{mol/L}$.

Cette démarche est celle d'une courbe d'étalonnage : on mesure la conductance de solutions de concentrations connues, on trace la droite, puis on lit la concentration de la solution inconnue ¹.

Le volume à l'équivalence se repère par le changement de pente de la courbe donnant la conductivité en fonction du volume versé ³. Les deux portions de droite correspondent à des compositions ioniques différentes de la solution avant et après l'équivalence.

Avant l'équivalence, les ions oxonium très conducteurs sont remplacés par des ions sodium qui le sont beaucoup moins : la conductivité diminue fortement. Après l'équivalence, on ajoute des ions sodium et hydroxyde sans les consommer : la conductivité augmente, un peu moins vite qu'elle ne diminuait avant.

À l'intersection, les deux expressions de $\sigma$ sont égales : $0{,}420 - 0{,}0300\,V_E = -0{,}130 + 0{,}0250\,V_E$.

On regroupe : $0{,}420 + 0{,}130 = 0{,}0250\,V_E + 0{,}0300\,V_E$, soit $0{,}550 = 0{,}0550\,V_E$.

Donc $V_E = \dfrac{0{,}550}{0{,}0550} = 10{,}0\ \text{mL}$.

Vérification : avant, $\sigma(10) = 0{,}420 - 0{,}300 = 0{,}120$ ; après, $\sigma(10) = -0{,}130 + 0{,}250 = 0{,}120$. Les deux droites donnent la même valeur, le résultat est cohérent.