Loi de Beer-Lambert : exercices corrigés de Terminale

On écrit la loi de Beer-Lambert : $A = \varepsilon \, \ell \, c$, valable à une longueur d'onde donnée ⁴.

Les unités sont cohérentes : $\ell$ est en cm, $c$ en mol/L et $\varepsilon$ en L·mol$^{-1}$·cm$^{-1}$.

On remplace : $A = 12\,000 \times 1{,}0 \times 5{,}0 \times 10^{-5}$.

On calcule : $A = 0{,}60$.

On part de $A = \varepsilon \, \ell \, c$ et on isole $c$ : $c = \dfrac{A}{\varepsilon \, \ell}$.

On remplace : $c = \dfrac{0{,}45}{9\,000 \times 1{,}0}$.

On calcule : $c = 5{,}0 \times 10^{-5}$ mol/L.

On contrôle la validité : cette valeur est bien inférieure à $10^{-2}$ mol/L, la loi s'applique ⁴.

Comme $\varepsilon$ et $c$ sont inchangés, le rapport $\dfrac{A_2}{A_1}$ est égal à $\dfrac{\ell_2}{\ell_1}$, car $A$ est proportionnelle à $\ell$ ⁴.

On calcule le rapport : $\dfrac{2{,}0}{1{,}0} = 2$.

On en déduit $A_2 = 2 \times 0{,}40 = 0{,}80$.

On calcule la concentration de la solution diluée : $c_{\text{fille}} = \dfrac{A}{\varepsilon \, \ell} = \dfrac{0{,}30}{15\,000 \times 1{,}0} = 2{,}0 \times 10^{-5}$ mol/L ⁴.

La dilution divise la concentration par le facteur $F = 4$ : $c_0 = F \times c_{\text{fille}}$.

On calcule : $c_0 = 4 \times 2{,}0 \times 10^{-5} = 8{,}0 \times 10^{-5}$ mol/L.

On calcule $A/c$ pour chaque point : $0{,}12/0{,}10 = 1{,}2$ ; $0{,}24/0{,}20 = 1{,}2$ ; $0{,}48/0{,}40 = 1{,}2$ ; $0{,}72/0{,}60 = 1{,}2$ (en L/mmol).

Le quotient est constant : $A$ est proportionnelle à $c$, ce qui est bien le comportement attendu à longueur d'onde et trajet optique fixés ⁴. La droite d'étalonnage passe par l'origine.

Le coefficient directeur vaut $k = \varepsilon \, \ell = 1{,}2$ L/mmol, donc $A = 1{,}2 \times c$ avec $c$ en mmol/L.

Pour la solution inconnue : $c = \dfrac{A}{k} = \dfrac{0{,}30}{1{,}2} = 0{,}25$ mmol/L.

On vérifie : 0,25 mmol/L se situe entre les étalons 0,20 et 0,40 mmol/L, on interpole donc et l'on n'extrapole pas.

Absorbance de l'espèce 1 seule : $A_1 = \varepsilon_1 \, \ell \, c_1 = 8\,000 \times 1{,}0 \times 2{,}0 \times 10^{-5} = 0{,}16$.

Absorbance de l'espèce 2 seule : $A_2 = 3\,000 \times 1{,}0 \times 4{,}0 \times 10^{-5} = 0{,}12$.

L'absorbance est additive ⁴ : $A = A_1 + A_2 = 0{,}16 + 0{,}12 = 0{,}28$.

La concentration de départ, $5{,}0 \times 10^{-2}$ mol/L, dépasse la limite de $10^{-2}$ mol/L : on sort de l'intervalle où la loi est linéaire ⁴. Absorbance et concentration ne seraient plus proportionnelles.

Le facteur de dilution est $F = \dfrac{c_{\text{initiale}}}{c_{\text{finale}}} = \dfrac{5{,}0 \times 10^{-2}}{1{,}0 \times 10^{-2}} = 5$.

Atteindre exactement la limite ne suffit pas, puisque la validité demande une concentration inférieure à $10^{-2}$ mol/L ⁴ : en pratique, il prend un facteur supérieur à 5, par exemple 10 ou 20.

Concentration de la solution diluée : $c_{\text{dil}} = \dfrac{A}{\varepsilon \, \ell} = \dfrac{0{,}55}{11\,000 \times 2{,}0} = 2{,}5 \times 10^{-5}$ mol/L ⁴.

Concentration dans la boisson : $c_0 = F \times c_{\text{dil}} = 10 \times 2{,}5 \times 10^{-5} = 2{,}5 \times 10^{-4}$ mol/L.

Concentration massique : $t = c_0 \times M = 2{,}5 \times 10^{-4} \times 400 = 0{,}10$ g/L.

On contrôle la validité : la solution mesurée est bien en dessous de $10^{-2}$ mol/L ⁴.

Addition des transmittances. C'est faux : selon la loi de Beer-Lambert, l'absorbance est additive, mais pas la transmittance ⁴. Il faut passer par les absorbances de X et de Y, les additionner, puis revenir à la transmittance du mélange.

Étalon trop concentré. Une concentration de $3{,}0 \times 10^{-2}$ mol/L dépasse la limite de $10^{-2}$ mol/L au-delà de laquelle la loi cesse d'être linéaire ⁴. Il faut diluer l'étalon avant de le mesurer.

Absence de blanc. Le réglage doit se faire avec une cuve contenant le solvant seul, pour que la mesure ne reflète que l'espèce étudiée ¹.

Autre point de vigilance : la loi ne décrit pas l'extinction due à la diffusion ³. Une solution trouble ou contenant des particules donnerait une mesure faussée.