Traitement du signal et échantillonnage : cours de Terminale SI

Un capteur de température, un microphone, un accéléromètre de smartphone : tous fournissent une grandeur électrique qui varie de façon continue dans le temps. Or un calculateur, un microcontrôleur ou un ordinateur ne manipule que des nombres, en quantité finie et à des instants précis. Entre le monde physique et le traitement informatique, il faut donc un passage obligé : la numérisation.

Ce chapitre répond à des questions que tu retrouveras dans les sujets de Bac de spécialité SI :

• Quelles étapes transforment une grandeur physique en nombres exploitables ?
• À quelle cadence faut-il relever des valeurs pour ne pas perdre d'information ?
• Avec quelle précision faut-il coder chaque valeur ?

Le traitement numérique du signal a profondément changé la façon de traiter l'information,⁴ et les notions d'échantillonnage et de conversion d'un signal analogique en signal numérique sont aujourd'hui des bases pour qui étudie l'électronique.³ Tu les réutiliseras pour le filtrage, la programmation événementielle et les réseaux.

Une chaîne d'acquisition regroupe tous les éléments qui, à partir d'une grandeur physique, fournissent des données numériques utilisables par un système de traitement. On peut la découper en blocs successifs, chacun transformant le signal sans changer l'information qu'il porte.

Les étapes d'échantillonnage et de quantification peuvent se visualiser sur un oscilloscope numérique : on y voit la courbe continue devenir une succession de points, puis ces points se caler sur des niveaux précis.¹ Le même support illustre aussi le phénomène de repliement de spectre, que nous étudierons plus loin.¹

Une chaîne d'acquisition introduit des erreurs de mesure. Elles se décrivent par des caractéristiques dites métrologiques, parmi lesquelles la justesse et la fidélité.² Retiens simplement l'idée : une mesure numérique n'est jamais parfaite, et chaque bloc de la chaîne peut dégrader l'information. C'est pourquoi les choix de $f_e$ et de $n$ se justifient toujours par rapport à un besoin.

Si l'intervalle entre deux relevés est la période d'échantillonnage $T_e$ (en secondes), la fréquence d'échantillonnage est

$f_e = \frac{1}{T_e}$

et s'exprime en hertz (Hz). Un échantillon est donc relevé aux instants $0$, $T_e$, $2T_e$, $3T_e$, etc. Entre deux instants, on ne conserve rien : le signal numérique n'existe qu'aux instants de relevé.

La fréquence d'échantillonnage $f_e$ est un paramètre essentiel de la chaîne : elle doit être suffisamment élevée par rapport aux variations du signal.²

Pourquoi ne pas tout garder ? Parce qu'un signal continu contient une infinité de valeurs, qu'aucune mémoire ne peut stocker. L'échantillonnage a pour but de transmettre l'information portée par le signal,⁴ et la question du bon choix de $f_e$ se pose aussitôt : avec trop peu de points, on perd des détails ; avec beaucoup trop, on gaspille de la mémoire et de la puissance de calcul.

Quelle fréquence d'échantillonnage choisir pour que les échantillons suffisent à retrouver le signal ? Il faut que la connaissance des échantillons permette de calculer la valeur du signal en tous les points intermédiaires. Claude Shannon a établi dans quel cas cela est possible, en fonction de la largeur de bande de l'information portée par le signal.⁴

Le théorème se lit aussi dans l'autre sens. Avec des échantillons régulièrement espacés, le signal est correctement décrit si aucune de ses composantes n'a une fréquence au-dessus de $f_e/2$. Cette valeur s'appelle la fréquence de Nyquist.⁵

$f_{Nyquist} = \frac{f_e}{2}$

En pratique, on choisit $f_e$ nettement au-dessus du minimum théorique. Un filtre placé avant l'échantillonneur atténue les fréquences inutiles à l'information mais présentes dans le signal, jusqu'au niveau du bruit de fond, ou au moins de façon qu'elles ne perturbent pas la réception.⁴ La condition porte sur la plus haute fréquence utile de la bande passante, pas sur la composante la plus visible à l'écran.

Que se passe-t-il si la condition de Shannon-Nyquist n'est pas respectée ? Le signal numérique obtenu ne ressemble plus au signal d'origine : il contient des fréquences qui n'existaient pas. Ce phénomène porte le nom de repliement de spectre (en anglais, aliasing) ; il est montré dans les démonstrations expérimentales à l'oscilloscope numérique.¹

Une image du quotidien aide à comprendre. Dans un film, les roues d'une voiture qui accélère semblent parfois tourner lentement, voire à l'envers : la caméra ne capte qu'un nombre limité d'images par seconde, ce qui est un échantillonnage du mouvement. Si la roue tourne trop vite par rapport à cette cadence, l'œil est trompé. C'est la même idée, transposée aux signaux électriques.

Pour se protéger du repliement, on peut :

• augmenter $f_e$ pour que la fréquence de Nyquist dépasse toutes les fréquences présentes ;
• filtrer le signal avant l'échantillonnage pour supprimer les fréquences qu'on ne souhaite pas conserver.⁴

L'échantillonnage découpe le temps. La quantification découpe, elle, l'amplitude : la valeur de chaque échantillon est ramenée à l'un des niveaux disponibles du convertisseur. Cette étape, avec l'échantillonnage, a lieu lors de l'acquisition d'un signal.¹ Le niveau retenu est ensuite écrit en binaire : c'est le codage.

Il y a donc deux sources d'approximation indépendantes : un $f_e$ trop faible fait perdre des instants (et risque le repliement) ; un $n$ trop petit fait perdre de la finesse sur chaque valeur. La figure d'un signal codé sur 2 bits puis sur 3 bits, avec deux échantillonnages différents, illustre ce double effet : l'escalier obtenu colle d'autant mieux à la courbe d'origine que $f_e$ et $n$ sont grands.²

Choisir $f_e$ et $n$, c'est arbitrer entre qualité et coût. Chaque échantillon est codé sur $n$ bits, et il y a $f_e$ échantillons par seconde. Le débit binaire de la voie numérisée est donc

$D = f_e \times n$

exprimé en bits par seconde. Plus $D$ est élevé, plus la mémoire et la bande passante de transmission nécessaires augmentent.

Un signal échantillonné régulièrement présente souvent de la redondance, si bien qu'une compression de données peut réduire le débit numérique sans perdre d'information.⁴

Pour rédiger une réponse de Bac qui rapporte tous les points, suis ce schéma : donnée (valeur relevée), formule (écrite littéralement), application numérique (avec unités), conclusion (une phrase qui répond à la question posée).

Quelques réflexes supplémentaires :

• convertis les kilohertz en hertz avant de calculer ;
• écris la condition de Shannon avec le signe $>$ et non $=$ ;
• justifie un choix de $n$ par la précision demandée, pas par une habitude ;
• nomme le phénomène (repliement de spectre) quand un énoncé montre un signal numérique qui ne ressemble plus à l'original.