Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Une fonction linéaire s'écrit f(x)=ax, où a est un nombre fixé : elle traduit une situation de proportionnalité 5.
Le nombre a est le coefficient de la fonction : c'est le coefficient de proportionnalité 3.
Sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine du repère 5.
Pour trouver a, divise l'image d'un nombre non nul par ce nombre : a=xf(x)5.
Image : on multiplie par a. Antécédent : on divise par a (si a=0).
Pour commencer : d'où vient la fonction linéaire ?
Tu as déjà rencontré la proportionnalité : un prix qui augmente avec la quantité achetée, une distance qui augmente avec la durée à vitesse constante, une recette où l'on multiplie tous les ingrédients. Dans chacun de ces cas, deux grandeurs dépendent l'une de l'autre, et on passe de la première à la seconde en multipliant toujours par le même nombre.
Au cycle 3, la notion de fonction n'apparaît pas dans les programmes. Au cycle 4, on part de situations concrètes où l'on voit nettement qu'une grandeur dépend d'une autre, afin de bâtir le concept pas à pas 2. En 3e, la fonction linéaire clôt le travail sur la proportionnalité en lui donnant une écriture formelle 2.
Dans ce cours, tu vas voir :
ce qu'est une fonction linéaire et comment la reconnaître ;
comment calculer une image et un antécédent ;
comment trouver le coefficient à partir de données ;
comment la représenter et la lire sur un graphique ;
comment traiter un problème de proportionnalité avec une fonction linéaire.
On suppose connues les notions de fonction, d'image et d'antécédent vues avant.
Définition d'une fonction linéaire
Les fonctions linéaires sont des fonctions traduisant les situations de proportionnalité 5. Elles comptent parmi les plus simples, car leurs propriétés demandent peu de calculs longs 5.
On note aussi x↦ax (on lit « x a pour image ax »). Ici, la machine à fonction est très simple : on prend le nombre de départ et on le multiplie par a, toujours le même a.
Lien avec la proportionnalité
Cela veut dire que, pour chaque x, l'image est a fois plus grande (ou plus petite si a<1). Voici un tableau pour f(x)=3x :
x
1
2
5
10
f(x)
3
6
15
30
La deuxième ligne s'obtient en multipliant la première par 3. Si tu doubles x, tu doubles aussi f(x) : f(2×5)=2×f(5).
Calculer une image et un antécédent
Trouver le coefficient d'une fonction linéaire
Démonstration · Pourquoi cette formule ?
Comme f(x)=ax, on divise les deux membres par x, qui est non nul : xf(x)=a. C'est le même raisonnement que pour retrouver un coefficient de proportionnalité dans un tableau : on divise la grandeur d'arrivée par la grandeur de départ.
RepérerUn nombre non nul et son image
Divisera = image ÷ nombre de départ
Écriref(x) = ax avec la valeur de a
VérifierRecalculer l'image donnée
Trouver une fonction linéaire · Méthode pour retrouver le coefficient puis écrire la fonction.
Représentation graphique d'une fonction linéaire
Démonstration · Pourquoi la droite passe par l'origine
Si M(x;y) est un point de la représentation graphique avec x=0, alors y=a×0=0 : le point d'abscisse 0 est l'origine O(0;0)5. La droite contient donc l'origine.
Deux fonctions linéaires dans un repère · La droite f monte (coefficient positif), la droite g descend (coefficient négatif). Elles passent toutes les deux par l'origine.
Sur le graphique ci-dessus, la droite f représente f(x)=2x : elle monte quand on avance vers la droite. La droite g représente g(x)=−0,5x : elle descend. Plus a est grand en valeur absolue, plus la droite est raide.
Opérations sur les fonctions linéaires
Démonstration · Preuve avec deux coefficients
Soient f(x)=ax et g(x)=bx. Pour tout x :
f(x)+g(x)=ax+bx=(a+b)x.
C'est bien de la forme « un nombre fixe multiplié par x » : la somme est la fonction linéaire de coefficient a+b.
Si k est un nombre quelconque : k×f(x)=k×ax=(ka)x, donc le produit est la fonction linéaire de coefficient ka.
Exercices corrigés
Exercice 1 Déterminer une fonction et calculer une image
★☆☆Environ 6 min
Une fonction linéaire f vérifie f(4)=10.
Détermine le coefficient de f et écris f(x).
Calcule l'image de 7 par f.
Indice 1
Pour une fonction linéaire, a=xf(x) avec x non nul.
Indice 2
Une fois a connu, une image se calcule en multipliant par a.
Voir la correction pas à pas
Le nombre de départ est 4, son image est 10. On calcule a=410=2,5.
On écrit la fonction : f(x)=2,5x.
On calcule l'image de 7 : f(7)=2,5×7=17,5.
Vérification : f(4)=2,5×4=10, ce qui est bien la donnée de départ.
Le coefficient est 2,5, donc f(x)=2,5x, et l'image de 7 est 17,5.
Exercice 2 Chercher un antécédent
★★☆Environ 6 min
Soit g la fonction linéaire définie par g(x)=−3x.
Calcule l'image de −5.
Détermine l'antécédent de 18 par g.
Indice 1
Un antécédent de 18 est un nombre x tel que −3x=18.
Indice 2
Pour isoler x, divise les deux membres par −3 ; fais attention au signe.
Voir la correction pas à pas
Image de −5 : g(−5)=−3×(−5)=15.
On cherche x tel que g(x)=18, c'est-à-dire −3x=18.
On divise par −3 : x=−318=−6.
Vérification : g(−6)=−3×(−6)=18. Juste.
L'image de −5 est 15 et l'antécédent de 18 est −6.
Exercice 3 Prix de pommes
★★☆Environ 8 min
Au marché, 12 kg de pommes coûtent 30 €. Le prix est proportionnel à la masse. On note p(x) le prix, en euros, de x kg de pommes.
Explique pourquoi p est une fonction linéaire et donne p(x).
Quel est le prix de 5 kg de pommes ?
Avec 40 €, quelle masse de pommes peut-on acheter ?
Indice 1
Le prix est proportionnel à la masse : le coefficient est le prix d'un kilogramme.
Indice 2
Pour la question 3, cherche l'antécédent de 40.
Voir la correction pas à pas
Le prix est proportionnel à la masse, donc p(x)=ax. On a p(12)=30, donc a=1230=2,5 : p(x)=2,5x.
Prix de 5 kg : p(5)=2,5×5=12,5 €.
On résout 2,5x=40 : x=2,540=16 kg.
Contrôle : 2,5×16=40. Juste.
Le prix de 5 kg est de 12,5 € et, avec 40 €, on achète 16 kg de pommes.
Exercice 4 Lire une droite et décider
★★★Environ 8 min
Une droite (d) passe par l'origine O et par le point A(5;−20). Elle représente une fonction linéaire f.
Détermine f(x).
Le point B(−3;12) appartient-il à la droite (d) ? Justifie.
Indice 1
Le coefficient est a=xAyA.
Indice 2
Un point appartient à la droite si ses coordonnées vérifient y=f(x).
Voir la correction pas à pas
Le point A est sur la droite, donc f(5)=−20 et a=5−20=−4 : f(x)=−4x.
Pour B, on calcule f(−3)=−4×(−3)=12.
L'ordonnée de B est 12, égale à f(−3) : les coordonnées de B vérifient y=f(x).
La fonction est f(x)=−4x et le point B(−3;12) appartient bien à la droite (d).
Quiz
8 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
Une fonction linéaire s'écrit f(x)=ax5. La fonction h est de cette forme avec a=−52. La fonction f contient un terme ajouté (+2), donc elle est affine et pas linéaire. g met x au carré et k divise par x : aucune n'est de la forme « nombre fixe multiplié par x ».
La représentation d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine 5, car f(0)=a×0=0. Une droite quelconque peut ne pas passer par l'origine : elle représenterait alors une fonction affine. La parabole correspond à un autre type de fonction.
Une image se calcule en multipliant : f(−3)=6×(−3)=−18. Le résultat −2 vient d'une division, ce qui revient à chercher un antécédent. Le résultat 18 oublie le signe négatif.
On cherche x tel que 6x=24, donc x=624=4. Le résultat 144 vient d'une multiplication, ce qui revient à calculer une image au lieu d'un antécédent.
Le coefficient est a=5f(5)=520=45. L'erreur tentante est de soustraire (20−5=15) ou de multiplier (5×20) : le coefficient de proportionnalité s'obtient par une division.
On multiplie : f(12)=0,75×12=9. Si tu obtiens 16, tu as divisé 12 par 0,75, c'est-à-dire cherché un antécédent.
Faux. On a a=4−8=−2, qui est négatif : la droite descend. L'erreur tentante est de ne regarder que l'abscisse 4, positive, sans tenir compte du signe de l'ordonnée.
Pour tout a, f(0)=a×0=0. Le coefficient a est bien le coefficient de proportionnalité 3, et additionner deux fonctions linéaires donne une fonction linéaire 5. La troisième affirmation est fausse : la droite passe toujours par l'origine.
Les questions qu'on se pose
Quelle différence entre fonction linéaire et situation de proportionnalité ?
Une situation de proportionnalité est un problème concret où deux grandeurs sont liées par un coefficient fixe. La fonction linéaire est l'écriture mathématique de cette situation : f(x)=ax, où a est le coefficient de proportionnalité 3. Modéliser, c'est passer de l'une à l'autre.
Comment savoir si une fonction est linéaire ?
Regarde l'expression : si elle peut s'écrire « un nombre fixe multiplié par x », elle est linéaire. Il ne doit y avoir aucun terme ajouté ou retranché, ni x2, ni x au dénominateur. Sur un graphique, il faut une droite passant par l'origine 5. Dans un tableau de valeurs, le quotient xf(x) doit être le même pour toutes les colonnes.
Pourquoi la droite passe-t-elle toujours par l'origine ?
Parce que l'image de 0 est a×0=0. Le point d'abscisse 0 a donc pour ordonnée 0 : c'est l'origine 5.
Une fonction linéaire peut-elle avoir un coefficient négatif ?
Oui. Le nombre a est un nombre quelconque 5. Si a est négatif, la droite descend de gauche à droite et les images ont le signe opposé de celui de x. Cela ne correspond pas à un prix ou à une masse, mais cela reste une fonction linéaire.
Que faire si l'énoncé ne donne pas directement le coefficient ?
Cherche un couple « nombre de départ, image » dont le nombre de départ n'est pas nul. Divise l'image par ce nombre pour obtenir a5. Si l'énoncé donne un point de la droite, utilise ses coordonnées de la même façon.