Image et antécédent : cours de 3e sur les fonctions
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Une fonction associe à chaque nombre un seul nombre : son image. 2
Dire que g(3)=15, c'est dire que 15 est l'image de 3 et que 3 est un antécédent de 15. 1
Image : on remplace x par la valeur et on calcule. Antécédent : on résout une équation f(x)=y.
Un nombre a une seule image, mais il peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents. 6
On trouve images et antécédents à partir d'une expression, d'un tableau de valeurs, d'un graphique ou d'un programme de calcul. 1
Rappel : ce qu'est une fonction
Tu as déjà rencontré la notion de fonction. Avant d'aller plus loin, remettons-la en place, car tout ce chapitre en dépend. Une fonction est une sorte de machine : tu lui donnes un nombre, elle te rend un autre nombre. Ce qui compte, c'est la règle qui relie les deux. Pour chaque nombre de départ, cette règle fournit un seul nombre d'arrivée. 2
Dans ce cours, nous donnons un nom à chacun de ces deux nombres. Celui qu'on obtient en sortie s'appelle l'image. Celui qu'on a mis en entrée, quand on connaît le résultat, s'appelle l'antécédent. Ces deux mots sont au programme de la classe de 3e et reviennent régulièrement au brevet. 2
Une fonction se présente de plusieurs façons : une expression (une formule comme f(x)=2x+5), un tableau de valeurs, une courbe dans un repère, ou un programme de calcul. Le programme officiel veut que tu saches trouver une image quelle que soit la présentation choisie. 1 Nous les passons toutes en revue.
Le vocabulaire : image et antécédent
Le mot « antécédent » existe aussi dans la langue courante : en grammaire, c'est le mot repris par un pronom relatif. Dans « la pomme que je mange », « la pomme » est l'antécédent de « que ». 5 Le point commun avec les mathématiques est l'idée de ce qui vient avant. En mathématiques, l'antécédent est l'élément du premier ensemble associé à un élément du second par la fonction. 5 Retiens donc : l'antécédent, c'est le point de départ.
Calculer une image à partir d'une expression
Quand la fonction est donnée par une formule, trouver l'image d'un nombre est un simple calcul : on remplacex par ce nombre et on calcule. Le programme de 3e attend cette compétence à partir d'une expression symbolique. 1
Un programme de calcul se traite de la même manière : on suit les étapes dans l'ordre. 1 Par exemple, « choisir un nombre, le multiplier par 3, ajouter 2 » correspond à la fonction x↦3x+2. L'image de 4 par ce programme est 3×4+2=14.
Déterminer un antécédent par le calcul
Chercher l'antécédent d'un nombre, c'est le problème inverse. On connaît le résultat y et on cherche le nombre de départ x. Il faut donc écrire l'égalité f(x)=y et la résoudre. Le programme demande de savoir le faire de manière algébrique dans des cas qui se ramènent à une équation du premier degré. 1 Il cite l'exemple de l'antécédent de 10 par la fonction f définie par f(x)=−3x−4. 1
Lire images et antécédents dans un tableau et sur un graphique
Une fonction n'est pas toujours donnée par une formule. Il arrive qu'on te fournisse seulement sa courbe ou un tableau de valeurs : le programme veut que tu saches en tirer une image. 1 Pour cela, il faut te repérer dans le bon sens de lecture.
Courbe de la fonction carré · Le nombre 4 a deux antécédents : 2 et -2.
Combien d'antécédents ? Zéro, un ou plusieurs
C'est la grande différence entre image et antécédent. Une fonction donne une seule image à chaque nombre de départ. 2 Mais un nombre d'arrivée peut provenir de plusieurs nombres de départ, d'un seul, ou d'aucun.
Erreurs fréquentes et conseils pour le brevet
Au brevet de mathématiques, les questions sur les fonctions demandent souvent de déterminer l'antécédent d'un nombre par une fonction, ou de lire les images dans un tableau obtenu avec un tableur. Un sujet de la session 2026 propose par exemple de déterminer l'antécédent de 2 par une fonction g et d'exploiter un tableur donnant des images de nombres entiers de 0 à 8. 4 Ce sont exactement les compétences de ce cours.
Repérer le motImage ou antécédent ?
Choisir l'outilImage : on calcule. Antécédent : on résout.
RédigerÉcrire l'égalité f(…) = …
Vérifier et conclureUne phrase de réponse.
Image ou antécédent : la bonne méthode
Cette notion prépare la suite du programme : les fonctions linéaires et affines, puis la représentation graphique. Plus tu es à l'aise avec « image » et « antécédent », plus ces chapitres te paraîtront naturels. 2
Exercices corrigés
Exercice 1 Calculer une image
★☆☆Environ 5 min
Soit h la fonction définie par h(x)=4x−7. Calcule l'image de 3 par h.
Indice 1
Remplace x par 3 dans la formule.
Indice 2
Respecte la priorité de la multiplication.
Voir la correction pas à pas
On écrit h(3)=4×3−7.
On calcule la multiplication : 4×3=12.
On soustrait : 12−7=5.
L'image de 3 par h est 5.
Exercice 2 Trouver un antécédent
★★☆Environ 8 min
Soit k(x)=2x+5. Détermine l'antécédent de 17 par k, puis vérifie ton résultat.
Indice 1
Écris l'équation 2x+5=17.
Indice 2
Isole x en deux étapes.
Voir la correction pas à pas
On cherche x tel que k(x)=17, soit 2x+5=17.
On soustrait 5 aux deux membres : 2x=12.
On divise par 2 : x=6.
Vérification : k(6)=2×6+5=17.
L'antécédent de 17 par k est 6.
Exercice 3 Combien d'antécédents ?
★★★Environ 10 min
Soit g(x)=x2−1.
Calcule g(3) et g(−3).
Détermine les antécédents de 8 par g.
Le nombre −5 a-t-il un antécédent par g ? Justifie.
Indice 1
Pour la question 2, pense que x2=9 a deux solutions.
Indice 2
Un carré est toujours positif ou nul.
Voir la correction pas à pas
g(3)=32−1=8 et g(−3)=(−3)2−1=8.
On résout x2−1=8, soit x2=9. Les solutions sont x=3 et x=−3.
Pour −5, on aurait x2−1=−5, soit x2=−4. Un carré ne peut pas être négatif : il n'y a aucune solution.
8 a deux antécédents, 3 et −3 ; −5 n'a aucun antécédent par g.
Quiz
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Dans g(3)=15, 3 est le nombre de départ et 15 le résultat : 15 est l'image de 3 et 3 est un antécédent de 15. 1 Les réponses qui inversent les rôles confondent image et antécédent.
f(2)=−3×2−4=−10. Résultat à ne pas confondre avec −3×(2−4)=6, qui oublie la priorité de la multiplication.
Un antécédent de 10 est un nombre x tel que f(x)=10 : il faut donc résoudre l'équation. 1 Calculer f(10) donne l'image de 10, ce qui est une autre question.
Faux : une fonction fait correspondre une unique image à chaque nombre. 2 C'est le nombre d'antécédents qui peut varier, pas le nombre d'images.
Un nombre strictement positif a deux antécédents par la fonction carré. 6 Ici 52=25 et (−5)2=25. Répondre « un seul » oublie la solution négative.
Faux : un nombre strictement négatif n'a aucun antécédent par la fonction carré. 6 Un carré n'est jamais négatif, donc aucune valeur de x ne donne −9.
On résout 2x+5=17, d'où 2x=12 et x=6. Calculer k(17)=39 serait donner l'image de 17, pas son antécédent.
Les questions qu'on se pose
Quelle est la différence entre image et antécédent ?
L'image est le résultat que donne la fonction à partir d'un nombre. L'antécédent est le nombre de départ qui produit un résultat donné. Si f(a)=b, alors b est l'image de a et a est un antécédent de b. 1
Pourquoi dit-on « un antécédent » et pas toujours « l'antécédent » ?
Parce qu'un nombre peut avoir plusieurs antécédents. Par la fonction carré, 9 en a deux : 3 et −3. 6 On dit « l'antécédent » quand on sait qu'il n'y en a qu'un, par exemple avec une fonction affine non constante.
Comment savoir si je dois calculer ou résoudre une équation ?
Regarde le mot de l'énoncé. « Image de a » : on calcule f(a). « Antécédent de b » : on résout f(x)=b. 1 Souligner le mot-clé avant de commencer évite presque toutes les confusions.
Qu'est-ce qui tombe au brevet sur ce thème ?
On te demande de déterminer des images et des antécédents à partir d'une formule, d'un tableau ou d'un tableur. 4 Le programme de 3e cite l'antécédent d'un nombre par une fonction définie par une formule affine. 1 Pense aussi à rédiger une phrase de conclusion.